szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2018, o 23:54 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Kielce
Witam.

Chciałem wyrazić funkcję \frac{\ln ( \frac{x+1}{x})}{x} w postaci związku z funkcją \frac{\ln ( \frac{x+1}{x-1})}{x} lub w postaci jakieś innej dobrej do analizy funkcji.

Z góry dziękuję za pomoc.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2018, o 10:12 
Użytkownik

Posty: 2253
Lokalizacja: Warszawa
Wyjaśnij, co właściwie chcesz zrobić i dlaczego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2018, o 21:10 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Kielce
Chciałem przekształcić funkcję do innej, logarytm nie nadaje się za bardzo do liczenia sumy czy całkowania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2018, o 21:53 
Użytkownik

Posty: 2253
Lokalizacja: Warszawa
Jaką do jakiej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2018, o 01:17 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Kielce
Myślałem nad area cotangensem hiperbolicznym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2018, o 01:20 
Użytkownik

Posty: 12526
Logarytm bardzo dobrze nadaje się do liczenia sumy (po to chyba właśnie go stworzono, żeby dodawać, a nie mnożyć) lub całkowania. Myślę, że niepotrzebnie kombinujesz. Proponuję podać oryginalną treść zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2018, o 13:16 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Kielce
Oryginalnie trzeba policzyć sumę \sum_{x=1}^{ \infty }   \frac{\ln (\frac{x+1}{x})}{x}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2018, o 13:29 
Użytkownik

Posty: 12526
Na jakim przedmiocie to dostałeś? Masz to policzyć analitycznie, czy jednak numerycznie?

Jak to drugie, to za bardzo nie pomogę, nie znam się na metodach numerycznych, jak to pierwsze, to zastanowię się.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2018, o 22:01 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Kielce
Na teorii liczb. Interesuje mnie dokładny wynik, także rozwiązanie analityczne. Pytanie jest też czy wynik będzie liczbą wymierną czy niewymierną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 cze 2018, o 13:35 
Użytkownik

Posty: 768
Lokalizacja: Polska
\sum_{x=1}^{ \infty } \frac{\ln (\frac{x+1}{x})}{x}

Wszystkie wyrazy są dodatnie (bo \ln x dla x \ge 1 jest f. o wartościach dodatnich), więc

Wg wolframa z kryterium porównawczego zbieżność jest, więc szereg jest zbieżny bezwzględnie. Zatem mamy


\sum_{x=1}^{\infty} \frac{\ln (\frac{x+1}{x})}{x} = \sum_{x=1}^{\infty} \frac{\ln (x+1) - \ln x}{x} = \ln 2 - \ln 1 + \frac{\ln 3}{2}-\frac{\ln 2}{2} + \frac{\ln 4}{3} - \frac{\ln 3}{3} + ... = (\ln 2 - \frac{\ln 2}{2}) + (\frac{\ln 3}{2}-\frac{\ln 3}{3})+... = \sum_{x=2}^{\infty} \frac{\ln x}{x(x-1)}
Może to jakoś ułatwi zabawę :V
----------------------------------------
Ale z dużą dozą prawdopodobieństwa wynik jest przestępny :/ Jest niebezpiecznie blisko \sqrt[5]{\pi}, ale nie nastawiałbym się - wydaje się, że niestety nie da się tego policzyć inaczej niż aproksymując. Żaden kalkulator nie dostarcza mi informacji dot. algebraiczności lub przestępności, ale poza przybliżeniami dziesiętnymi nie podaje "normalnej" postaci

----------------------------------------
Ze względu na postać, możliwe że wynik wyraża się z pomocą stałych Stieltjesa/wygibasów z funkcją Dzeta (jak to zwykle bywa) lub \pi(n) :roll:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Definicja i własności funkcji wykładniczej  Anonymous  1
 Badanie monotoniczności funkcji logarytmicznej.  Anonymous  1
 Badanie monotoniczności funkcji.  Anonymous  4
 Wyznacz dziedzinę funkcji logarytmicznej  no_lan  1
 Różnowartościowość funkcji wykładniczej 10^x  author  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl