szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2018, o 23:31 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Katowice
Czy może ktoś wytłumaczyć dlaczego rozwiązaniem równania z^{2}-i=0 jest
z=-\sqrt[4]{-1} \vee z=\sqrt[4]{-1}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 cze 2018, o 23:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12450
Lokalizacja: Państwo Polin
Bardzo nie polecam zapisu typu z=-\sqrt[4]{-1} itd. (czasami używa się tego rodzaju zapisu w algebrze abstrakcyjnej, ale uważam, że poza tym to trochę w złym guście).
z^2=i \Leftrightarrow z^2=\cos\left( \frac{\pi}{2}+2k\pi\right) +i\sin\left( \frac{\pi}{2}+2k\pi\right)
a stąd i ze wzoru de Moivre'a (oczywiście moduł obu liczb jest równy 1)
z=\cos\left( \frac \pi 4+k\pi\right) +i\sin\left( \frac \pi 4+k\pi\right), \ k \in \left\{ 0, 1\right\}
tj.
z=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}} \vee z=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2018, o 08:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1283
Lokalizacja: hrubielowo
Sposób bezpośrednio powiązany ze sposobem Premislav choć wart uwagi z pewnych względów to sposób geometryczny. Zauważyć można że pierwiastki leżą na okręgu jednostkowym a ich kwadrat ma dać i więc pierwiastki te mają argument \frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ} oraz leżący "naprzeciw" w symetrii (0,0) pierwiastek 180^{\circ}+45^{\circ}. Stąd mamy spodziewane rozwiązania

z=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}} \vee z=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}

bo to zobaczyć można skorzystać z postaci trygonometrycznej albo z tw Pitagorasa.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Potęga liczby zespolonej - zadanie 18  Anonymous  2
 Liczby zespolone  Anonymous  2
 Zbiory i liczby  Anonymous  2
 Pierwistek z liczby ujemnej  Hetacz  6
 Zbiór liczb zespolonych & liczby urojone  Anonymous  4
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl