szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lip 2018, o 23:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 350
Lokalizacja: Rybnik
Witam wszystkich mam problem z następującym zadaniem.
Znajdź wszystkie liczby całkowite x, dla których wyrażenie \frac{7x+1}{3x+4} ma wartość całkowitą.

Jak takie zadanie rozwiązać algorytmem Euklidesa?
Wiem jak działa i ja robiłem to tak:
NWD (7x+1,3x+4)=NWD(4x,3x+4)=NWD(x-4,2x+8)=NWD(x-4,x+12)=NWD(x-4,16)
I nie wiem co dalej ;/
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lip 2018, o 00:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12447
Lokalizacja: Państwo Polin
A ja robiłem to tak:
ponieważ (3, 3x+4)=1, więc
(7x+1, 3x+4)=(21x+3, 3x+4)=(3x-21,3x+4)=(-25, 3x+4)
Z drugiej strony skoro ma być \frac{7x+1}{3x+4}\in \ZZ, to
(7x+1, 3+4)=3x+4, czyli 3x+4 dzieli -25=-1\cdot 5^2, a zatem nietrudno wywnioskować, że 3x+4=25 \vee 3x+4=-5
i otrzymujemy dwa rozwiązania:
x=-3, \ x=7

Z Bogiem, KW
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lip 2018, o 12:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 350
Lokalizacja: Rybnik
Czy mógłbyś mi to wytłumaczyć dokładniej, nie wiem skąd to (3, 3x+4)=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lip 2018, o 13:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12447
Lokalizacja: Państwo Polin
(a,b) to skrótowy zapis \NWD(a,b). Dla dowolnego x\in \ZZ liczba 3x+4 daje resztę 1 z dzielenia przez 3, czyli nie dzieli się przez 3, a więc, z uwagi na to, że 3 jest liczbą pierwszą, dla dowolnego x\in \ZZ jest (3, 3x+4)=1. Dalej skorzystałem z takiego prostego faktu:
jeśli (a,b)=1, to (c,b)=(ac, b).
Stąd właśnie wziąłem (7x+1, 3x+4)=(21x+3, 3x+4)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lip 2018, o 13:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 350
Lokalizacja: Rybnik
I wszystko jasne,dzięki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie modulo, algorytm Euklidesa  croonx  0
 NWD wielomianów (rozszerzony algorytm Euklidesa)  jakub1998  1
 Istnienie rozwiązania - algorytm euklidesa  chozz  5
 Czy istnieje algorytm na obliczanie kongruencji?  95Villain95  5
 Rozszerzony algorytm Euklidesa - zadanie 5  netsprint  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl