szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lip 2018, o 16:00 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot (x-3)^n}{n^3+1}

Mam już policzone, że R to 2, więc przedział będzie (1 ; 5) zbieżny. Teraz muszę sprawdzić z której strony będzie zbieżny i tu mam problem.
dla x=1
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot (1-3)^n}{n^3+1} = \frac{2^n \cdot (-2)^n}{n^3+1}


dla x=5
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot (5-3)^n}{n^3+1} = \frac{2^n \cdot 2^n}{n^3+1}

Jak ruszyć to dalej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2018, o 16:10 
Użytkownik

Posty: 15341
Lokalizacja: Bydgoszcz
Promień nie jest równy 2.
Pokaż rachunki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2018, o 16:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1471
Lokalizacja: hrubielowo
Nie jest to poprawna odpowiedź nie wiem jak to liczysz więc nie powiem co jest źle. By wyznaczyć promień zbieżności można badać dla jakich x szereg spełni warunek Cauchego. Czyli kiedy

\lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{\left|  \frac{2^n(x-3)^n}{n^3+1}
\right| }<1

Granicę tą łatwo policzyć co daje nierówność \left| 2x-6\right|<1 która jest równoważna z x\in\left(  \frac{5}{2}, \frac{7}{2}  \right). Jest to więc przedział zbieżności. By sprawdzić zbieżność na krańcach przedziału trzeba wstawić je za x i badać szereg liczbowy. Gdy wstawimy krańce przedziału to dostaniemy szeregi:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3+1}

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1^n}{n^3+1}

obydwa te szeregi liczbowe są zbieżne. Więc zbiorem zbieżności jest x\in\left[  \frac{5}{2} , \frac{7}{2} \right]
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego - zadanie 2  Us3rB  3
 Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego  laser15  10
 Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego - zadanie 3  Milo_17  4
 Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego - zadanie 4  pow3r  1
 Badanie zbieżności funkcji. Czy \sqrt[n]{n!} zbiega do 1?  kej.ef  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl