szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lip 2018, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Wawa
Sprawdź czy podane zbiory sa wykresem funkcji zdaniowej:
\forall x \exists y( x^{2} + y^{2}  > z) w dziedzinie liczb całkowitych.

zbiór liczb:
a) calkowitych ujemnych
b) naturalnych
c) Rzeczywistych


Wiem ze zaden ze zbiorów nie jest wykresem funkcji zdaniowej. Za bardzo nie rozumiem co jest czym w tym pytaniu. Czy wykres funckji zdaniowej to zbior x czy zmiennej wolnej w tym wypadku z. Czy dziedzina liczb calkowitych tyczy sie x i y? Jesli nie mam kwantyfikatora przy z to uznaje ze poszukuje kazdego z czy to w ogole nie ma znaczenia, nie o to tu chodzi? Moze pokazanie czemu ktoras z odpowiedzi nie jest poprawna rozjasnila by mi temat.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lip 2018, o 23:48 
Administrator

Posty: 22651
Lokalizacja: Wrocław
Dopóki nie zapiszesz porządnie kwantyfikatorów: \forall \forall \exists \exists lub \bigvee \bigvee \bigwedge \bigwedge, to nie mamy o czym rozmawiać.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2018, o 00:11 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Wawa
Kolejny przyklad:

Wykresem funkcji zdaniowej
\forall x (x^{2}+y^{2} > z)
w dziedzinie liczb rzeczywsitych jest zbiór:

a) \mathbb{Z}
b) \mathbb{R} \times \mathbb{Z}_{-} (ujemne)
c) \{ (y,z) \in \mathbb{R}^2 : y^2 > z \}

Moje rozumowanie wyglada tak ze

x^{2} > z - y^{2}
A że
x^{2} \ge 0
to warunkiem tego rownania jest ze
z-y^{2} < 0

stąd też odpowiedz c pasuje

\mathbb{Z} bedzie miec liczby ujemne ktore sprawia ze nie dla kazdego x rowannie bedzie spelnione

tak samo w wypadku \mathbb{R} \times \mathbb{Z}_{-} Tutaj tez w zbiorze zawarte beda liczby ujemne gdzie z - y^{2} da dodatnia wartosc.

Dobrze rozumuje?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2018, o 09:17 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7786
Lokalizacja: Wrocław
Zajmijmy się najpierw pierwszym przykładem. Na początku trzeba zidentyfikować zmienne wolne w tej funkcji zdaniowej - słusznie zauważyłeś, że jedyną zmienną wolną jest z. Następnie musimy wyznaczyć wykres, czyli zbiór wszystkich podstawień elementów dziedziny za wszystkie zmienne wolne, które czynią funkcję zdaniową prawdziwą. Skoro jest jedna zmienna wolna, to każde podstawienie można w naturalny sposób utożsamić z pojedynczym elementem dziedziny (którą jest zbiór liczb całkowitych), czyli elementem \ZZ. (Gdyby np. były trzy zmienne wolne, to podstawienie byłoby naturalne utożsamione z trójką uporządkowaną elementów dziedziny, czyli z elementem \ZZ^3.)
Przykład:    

Ostatecznie więc musimy wyznaczyć zbiór

C = \{ z \in \ZZ : \text{w } \ZZ \text{ jest prawdą, że } (\forall x)(\exists y) \, x^2 + y^2 > z \}.

To, że sprawdzamy prawdziwość danego zdania w dziedzinie \ZZ, oznacza dokładnie to, że wszystkie kwantyfikowane zmienne przebiegają \ZZ, zatem

C = \{ z \in \ZZ : (\forall x \in \ZZ)(\exists y \in \ZZ) \, x^2 + y^2 > z \}.

Jeśli masz kłopoty z wyznaczeniem tego zbioru z marszu, możesz wziąć kilka przykładowych liczb całkowitych c i dla każdej z nich zastanowić się, czy prawdą jest, że (\forall x \in \ZZ)(\exists y \in \ZZ) \, x^2 + y^2 > c, co pozwoli rozstrzygnąć, czy c jest elementem powyższego zbioru. W ten sposób nabędziesz intuicji związanej z tym przykładem i przypuszczalnie zauważysz ogólną zależność, którą potem udowodnisz.

W rozważanym wyżej przykładzie pokazaliśmy (z dokładnością do pytania 'dlaczego?'), że -5 \in C.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dziedzina formy zdaniowej  Anonymous  1
 Czy podane wyrażenia są tautologiami  Anonymous  10
 Sprawdz czy wyrazenie zdan jest tautologią  majab  3
 (Warunki zdaniowe i zbiory)  Krabicz  0
 Elementy spełniające podane formy zdaniowe.  Po prostu Tępa  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl