szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lip 2018, o 22:35 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Łódź
Cześć.
Jak pokazać, że zbiór S jest zwarty
S={\{x=(x_1,...,x_n) : (x_1,...,x_n)>0 \wedge\prod\limits_{i=1}^{n}x_i^{\delta_i}=c  \}}
przy dodatkowych założeniach że \delta_i>0 i \sum\limits_{i=1}^{n}\delta_i=1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 01:06 
Administrator

Posty: 23776
Lokalizacja: Wrocław
A cóż to jest (x_1,...,x_n) ? No chyba nie element \RR^n, bo cóż miałoby wtedy znaczyć (x_1,...,x_n)>0.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 08:34 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Łódź
(x_1,...,x_n) są to zmienne a zapis (x_1,...,x_n)>0 miał oznaczać że, każda ze zmiennych jest liczbą dodatnią.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 10:35 
Administrator

Posty: 23776
Lokalizacja: Wrocław
Kamilos103 napisał(a):
(x_1,...,x_n) są to zmienne

To nie jest odpowiedź.

Kamilos103 napisał(a):
a zapis (x_1,...,x_n)>0 miał oznaczać że, każda ze zmiennych jest liczbą dodatnią.

A to jest bardzo niepoprawny zapis.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 12:58 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Łódź
A zatem jeżeli tak zdefiniuje ten zbiór to będzie poprawnie??
S=\{(x_1,...,x_n)\in(0,\infty)^n:\prod\limits_{i=1} ^nx_i^{\delta_i}=c\}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 14:07 
Użytkownik

Posty: 15860
Lokalizacja: Bydgoszcz
Będzie poprawnie, ale nie będzie zwarte
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 14:46 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Łódź
A czy da się pokazać że taki zbiór posiada minimum??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 15:31 
Użytkownik

Posty: 15860
Lokalizacja: Bydgoszcz
A co to jest minimum zbioru w przypadku podzbioru \RR^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 16:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13223
Lokalizacja: Wrocław
Zmień nierówności x_i> 0, \ i=1\ldots n na x_i\ge 0, \ i=1\ldots n, wówczas już będziesz miał zbiór zwarty i potem sprawdź, czy ekstrema wypadają wewnątrz (tj. tam, gdzie x_i>0), jeśli tak, to rozwiązałeś problem też dla wyjściowego zbioru. Rozumiem, że szukasz ekstremów warunkowych i chciałeś skorzystać zapewne z metody mnożników Lagrange'a i tw. Weierstrassa o przyjmowaniu kresów (stąd przydałby się zbiór zwarty, tylko że ten akurat nie jest zwarty, ale da się to obejść jak wyżej).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 18:13 
Użytkownik

Posty: 15860
Lokalizacja: Bydgoszcz
Premislav, ależ toto zawsze nieograniczone będzie, Adolfku
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 18:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13223
Lokalizacja: Wrocław
O rany, faktycznie, co za porażka. Powinienem zmienić nazwisko na „Orażka", wówczas mógłbym się w adekwatny sposób podpisywać.

-- 11 lip 2018, o 18:55 --

Nie wiem, dlaczego myślałem o sumie x_i zamiast o iloczynie. :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Łódź
W takim razie nie mogę pokazać zwartości więc nie mogę użyć twierdzenia Weierstrassa.
Zatem w jaki inny sposób mogę pokazać że jednak istnieje minimum globalne dla
\left\{\begin{array}{l} f(x)=\sum\limits_{i=1}^n\delta_i\cdot x_i\longrightarrow min\\przy \ ograniczeniach\\g(x)=\prod\limits_{i=1}^nx_i^{\delta_i}-c=0 \\x=(x_1,...,x_n)\in(0,\infty)^n\end{array}
I przy założeniach że \delta_i>0 oraz \sum\limits_{i=1}^n\delta_i=1
abym mógł użyć mnożników Lagrange'a
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 20:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13223
Lokalizacja: Wrocław
Jeżeli chcesz korzystać z tego rodzaju metody, to moja propozycja jest trochę trickowa: odwróć problem
i przy ustalonej wartości \sum_{}^{} \delta_i x_i (sorry, nie chce mi się pisać indeksów) maksymalizuj \prod_{}^{} x_i^{\delta_i}, gdzie x_i, \ \delta_i jak wyżej u Ciebie.
Zbiór
\left\{ (x_1, \ldots x_n)\in \RR^n: \  \sum_{}^{}\delta_i x_i=d, \  (\forall i \in n+1)x_i\ge 0\right\}
gdzie d to jakaś tam stała dodatnia jak najbardziej jest już zwarty.


Bo pewnie wiesz, że bez mnożników Lagrange'a to zadanko łatwo rozwalić z użyciem nierówności Jensena dla funkcji wklęsłej h(t)=\ln t.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zwartosc zbioru - zadanie 3  Matiks21  1
 Zwartość zbioru - zadanie 2  natalia1991  1
 zwartosc zbioru  Gogeta  1
 Spójność zbioru liczb niewymiernych  Anonymous  1
 Spójność zbioru - zadanie 5  relic  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl