szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 11:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 350
Lokalizacja: Rybnik
Wyznacz wszystkie trójki (x,y,z) liczb rzeczywistych spełniająca poniższe równania:
x=(y-z)^2 \hspace{0.8cm} y=(z-x)^2 \hspace{0.8cm} z=(x-y)^2

Dodawałem stronami odejmowałem i do niczego nie doszedłem.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 11:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12447
Lokalizacja: Państwo Polin
Odejmując np. drugie równanie stronami od pierwszego i korzystając z (y-z)^2=(z-y)^2 dostajemy
x-y=(x-y)(2z-x-y), a stąd x=y\vee 2z=x+y+1
i analogicznie odejmując trzecie równanie stronami od drugiego mamy
y-z=(y-z)(2x-z-y), czyli y=z \vee 2x=z+y+1,
ostatecznie więc dostajesz cztery przypadki:
x=y=z, wtedy po wstawieniu widzimy, że x=y=z=0;
2z=x+y+1 \wedge 2x=z+y+1, nie chce mi się tego liczyć;
2z=x+y+1 \wedge y=z, jak wyżej;
2x=z+y+1 \wedge x=y, jak wyżej.
Oczywiście tam korzystam ze wzoru na różnicę kwadratów:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 17:22 
Moderator

Posty: 756
Lokalizacja: Zabrze
Odrobinę szybciej: zauważamy, że układ jest symetryczny, więc b. s. o. x\ge y \ge z. W takim razie x-z\ge y-z\ge 0, więc
x=\left( y-z \right) ^2 \le \left( x-z \right)^2= y \le x
więc x=y i stąd natychmiast znajdujemy rozwiązania.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 z równań wyznacz występujące w nich zmienne  dammian54  2
 uklad rownan - zadanie 42  majunika  4
 Zadanie z układem równań - zadanie 6  werka789  1
 Układ równań z trzema niewiadomymi - zadanie 18  kapcioch  4
 Wyrażenia, nierówności, układy równań  SC0FiElD  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl