szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 13:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Kraków
W zbiorze zadań Banasia, Wędrychowicza z Analizy natknąłem się na takie zadanie ( nr 73, pierwszy rozdział ):
Ciąg liczb \left\{ a_{n} \right\} określamy przez: a_{1} = a_{2} = 1, a_{n} = \frac{a_{n-1}^{2} + 2}{a_{n-2}}. Pokaż, że wszystkie jego wyrazy są całkowite.

Pokazując krok indukcyjny n \to n + 1 wystarczy uzasadnić, że a_{n-1} dzieli a_{n}^{2} + 2. Dlatego szukam liczby całkowitej k\in \mathbb{Z} takiej, że zachodzi a_{n}^{2} + 2 = ka_{n-1}.

W Banasiu w rozwiązaniach dodatkowo i jednocześnie pokazują, że każda liczba jest nieparzysta.

Żeby naświetlić problematyczne dla mnie miejsce przedstawię jeszcze ciąg przekształceń a_{n}^{2} + 2 na którego końcu wyciągają pewien dziwny dla mnie wniosek. Mianowicie
a_{n}^{2} + 2  =  \left( \frac{a_{n-1}^2 + 2}{ a_{n-2}}  \right) ^2 + 2 =

\frac{a_{n-1}^4 + 4a_{n-1}^2 + 2 \left( 2+a_{n-2}^2 \right)  }{a_{n-2}^2} =

Przyglądając się samemu licznikowi widać, że trzeci składnik można zamienić z definicji ciągu rekruencyjnego na 2a_{n-1}a_{n-3}. Dlatego otrzymujemy
a_{n-1} \frac {a_{n-1}^3+ 4a_{n-1} + 2a_{n-3}}{a_{n-2}^2}

Tutaj chciałbym z kolei chciałoby się znowu pokazać, że mianownik dzieli licznik. Lecz w rozwiązaniach znajdujemy zupełnie inne uzasadnienie, którego nie trawię. Mianowicie piszą, że wynika wszystko z tego że a_{n-1} i a_{n-2} są względnie pierwsze.
Czy jest ktoś w stanie takie wynikanie rozpisać?

Pozdrawiam
R
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 16:47 
Moderator

Posty: 1972
Lokalizacja: Trzebiatów
Dowód, że każda liczba jest nieparzysta jest niezbędny w tym wypadku, aby wykazać, że te wyrazy są względnie pierwsze.
Otóż, zakładając, że mają wspólny dzielnik d > 1, to z pierwszej równości d|2, więc d = 2 (tj. a_{n}a_{n-2} = a^{2}_{n-1} + 2), ale skoro są to liczby nieparzyste otrzymujemy sprzeczność i d = 1.
Z tego, że są względnie pierwsze dla mnie nic - bez szerszego komentarza nie wynika.
Jedynie mogę podać inne rozwiązanie tego zadania, o ile jest chęć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 10:06 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7773
Lokalizacja: Wrocław
Ogólnie jeśli a, b, c \in \ZZ są takie, że a \mid b \cdot c i a jest względnie pierwsze z b, to a \mid c. Przeformułowując, jeśli \frac{b \cdot c}{a} jest liczbą całkowitą i b jest względnie pierwsze z a, to \frac{c}{a} jest liczbą całkowitą.


Z założenia indukcyjnego a_n jest liczbą całkowitą, więc

a_n^2 + 2 = \frac{a_{n-1} \cdot  \left( a_{n-1}^3 + 4a_{n-1} + 2a_{n-3} \right)}{a_{n-2}^2}

też jest całkowite. Ale skoro a_{n-1} i a_{n-2} są względnie pierwsze, to ułamek

\frac{a_{n-1}^3 + 4a_{n-1} + 2a_{n-3}}{a_{n-2}^2}

jest liczbą całkowitą, a z obliczeń wynika, że jest on równy a_{n+1}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 16:28 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Kraków
Dzięki wielkie za odpowiedzi.
Zahionie, jeśli możesz przedstawić inne rozwiązanie to z chęcią rzucę na nie okiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2018, o 00:11 
Moderator

Posty: 1972
Lokalizacja: Trzebiatów
a_{n}^{2} + a_{n}a_{n-2} = \left( a_{n}^{2} + 2\right) +a_{n-1}^{2} = a_{n+1}a_{n-1} + a_{n-1}^{2}. Dzieląc stronami przez a_{n}a_{n-1} otrzymujemy równość
\frac{a_{n}+a_{n-2}}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_{n}}.
Niech b_{n} =  \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_{n}}, wtedy b_{2} = ... = b_{n+1} oraz b_{2} =  \frac{a_{3}+1}{1} = 4, skąd b_{i} są całkowite dla i = 2, ..., n+1. Skąd dla pewnego całkowitego k mamy a_{n+2} =ka_{n+1}-a_{n}, a skoro a_{1}, a_{2} są całkowite, to a_{n} dla dowolnego n \in N również.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 Oblicz granicę ciagu  :)  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl