szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 22:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1759
Lokalizacja: hrubielowo
Z pewnością jest wiele sposobów klasyfikujące liczby niewymierne na przykład wyróżnia się liczby przestępne albo charakteryzuje się że przy użyciu narzędzi aproksymacji Diofantycznej. Można wtedy w naturalny sposób mówić o "mocy" niewymierności zważywszy na daną charakteryzację, bo albo rozpatrywana liczba niewymierna spełnia dodatkowe warunki albo nie. W tym poście chciałem pokazać pomysł takiej klasyfikacji.

Rozważam funkcję \mathcal{M}:\RR \rightarrow \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} taką że \mathcal{M}\left( x\right) oznacza minimalną ilość dowolnych cyfr jakich trzeba się pozbyć z liczby x by tak przekształcona liczba stała się wymierna.
przykład 1:    

przykład 2:    

oczywiste spostrzeżenie 1:    

oczywiste spostrzeżenie 2:    

uwaga terminologiczna:    

\bullet Hipoteza 1 \mathcal{M}\left( \pi\right)=\mathcal{M}\left( e\right)=\mathcal{M}\left(  \sqrt{2} \right)=9

\bullet Hipoteza 2 \forall\left( k\in\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} \right) \left| \left\{ x:\mathcal{M}(x)=k\right\} \right|=\mathfrak{c}

\bullet Hipoteza 3 dla x_1,x_2\in \RR takich że \mathcal{M}(x_1) \neq \mathcal{M}(x_2) zachodzi \mathcal{M}(x_1+x_2)=\max\left\{ \mathcal{M}(x_1),\mathcal{M}(x_2)\right\}

Zapraszam do przemyśleń, uwag i komentarzy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 00:07 
Użytkownik

Posty: 782
Lokalizacja: Polska
Hipoteza 1 wynikałaby z normalności tych liczb (ale nie wiemy czy są :/) Ogólnie ciekawy temat, tylko czemu w przykładzie 2 nie możemy usunąć zer, by mieć 0,(123456789)? Dodaj te zera i przecinki, bo teraz to te iksy jak l. całkowite wyglądają...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 08:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1759
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
Hipoteza 1 wynikałaby z normalności tych liczb
Jeśli przez normalność rozumiesz równomierny rozkład każdej z cyfr w liczbie to wydaje mi się że to wynikanie jest nieprawdziwe. Można skonstruować liczbę o równomiernym rozkładzie cyfr taką że \mathcal{M}(x)=8. Powiedzmy że usuwamy z liczby x wszystko z wyjątkiem 0 i 1 spójrzmy na

x=\text{coś z 23...9}\underbrace{0101010101}_{\text{odpowiednio wiele razy}} \ \text{coś innego z 23...9}\underbrace{0101010101}_{\text{odpowiednio wiele razy}}...

Liczba x może zawierać tyle samo każdej z cyfr co sygnalizuje "odpowiednią ilość razy". Przy czym ciągi z 2,3,...9 mogą być dowolnej długości oraz posiadać równomierny rozkład cyfr.
Cytuj:
w przykładzie 2 nie możemy usunąć zer, by mieć 0,(123456789)
Racja. Dzięki za czujność. Pozwolę sobie poprawić ten przykład na taki jaki zaplanowałem by nie wprowadzał zamieszania.

spostrzeżenie do hipotezy 2:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 09:50 
Użytkownik

Posty: 782
Lokalizacja: Polska
Faktycznie - obrazowy przykład do normalności z tym rozkładem.

Spostrzeżenie do HT 2 dość oczywiste.

Jeszcze jedno pytanie - co robimy z x>1, np.

3.14159265359
"usunięcie trójki" oznacza
0.1415926559
czy
3.1415926559

Te przykłady z początku są mało obrazowe
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 10:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1759
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
Jeszcze jedno pytanie - co robimy z x>1
To nie ma znaczenia. Po usunięciu wybranych cyfr ma nam wyjść liczba wymiana. Pozostawienie części całkowitej bądź pozbycie się jej nie zmieni wymierności bądź niewymierności otrzymanej liczby. Dlatego rozważałem wyłącznie liczby z przedziału \left[ 0,1\right]. Całe rozważania można sprowadzić do liczb z \left[ 0,1\right] przekształceniem x \rightarrow \left\{ x\right\}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 15:26 
Użytkownik

Posty: 15819
Lokalizacja: Bydgoszcz
Hipoteza 3 jest fałszywa \mathcal(M) (x+(1-x))=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 15:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1759
Lokalizacja: hrubielowo
a4karo skąd wiadomo że \mathcal{M}(x) \neq \mathcal{M}(1-x)? Hipotezę 3 starałem się sformować w taki sposób by wykluczać takie przypadki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 16:03 
Użytkownik

Posty: 15819
Lokalizacja: Bydgoszcz
To jest akurat zupełnie nieważne (chociaż prawdziwe) . Ważne jest, że x+(1-x)=1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 16:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1759
Lokalizacja: hrubielowo
Nie rozumiem dlaczego to jest nieważne. Hipoteza mówi o dwóch liczbach x_1,x_2 takich że \mathcal{M}(x_1) \neq \mathcal{M}(x_2). Skąd pewność że liczby x_1=x oraz x_2=1-x spełnią to założenie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 17:46 
Użytkownik

Posty: 782
Lokalizacja: Polska
W szczególności \mathcal{M}(\pi) = \mathcal{M}(1-\pi) i ogólnie \mathcal{M}(x) = \mathcal{M}(1-x) dla x>1

Chyba, że dla ujemnych liczenie wygląda inaczej? A raczej wygląda tak samo (czy rozważamy jednak mantysy jako argumenty? To w sumie ważna kwestia :? Ale z definicji naszej funkcji wynika, że powyższe jest prawdą)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 19:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1759
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
Chyba, że dla ujemnych liczenie wygląda inaczej?
Nie wygląda to inaczej bo \mathcal{M}(-x) = \mathcal{M}(x). Interesuje nas najmniejsza ilość cyfr jakich trzeba się pozbyć z x by stał się liczbą wymierną. Nie ma znaczenia czy x jest dodatnie czy nie.
Cytuj:
czy rozważamy jednak mantysy jako argumenty? To w sumie ważna kwestia
To nie jest istotne bo \mathcal{M}(x) = \mathcal{M}\left( \left\{ x\right\} \right). Na niewymierność liczby wpływa najbardziej jest "końcówka", rozwinięcie dziesiętne. Tak naprawdę można by było rozpatrywać to co się dzieje na dwudziestym miejscu po przecinku i dalej.
Cytuj:
Ale z definicji naszej funkcji wynika, że powyższe jest prawdą
Nie jest to oczywiste. Choć przeczuwam jak można poprowadzić dowód.
szkic:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 20:31 
Użytkownik

Posty: 782
Lokalizacja: Polska
Janusz Tracz napisał(a):
To nie jest istotne bo \mathcal{M}(x) = \mathcal{M}\left( \left\{ x\right\} \right).

Ano jest, bo M(x)=M(1-x)=M(\left\{ x\right\}) dla x>1
ALE
\left\{ -x\right\} = 1-\left\{ x\right\}

choć z tym powyższym rozumowaniem dostaniemy faktycznie to samo.

-- 12 lip 2018, o 21:33 --

Cytuj:
Nie jest to oczywiste. Choć przeczuwam jak można poprowadzić dowód.


dla x>1 jest dość oczywiste, bo część "po przecinku" pozostaje ta sama
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Teoria liczb] Liczby pierwsze i część całkowita  MateuszL  2
 [Teoria liczb] Udowodnij, że nie istnieje ciąg + tl  pawelsuz  7
 [Teoria liczb] Rozwiązać w naturalnych  kluczyk  1
 [Teoria liczb] Mocniejsza wersja z 2 etapu  Swistak  0
 [Teoria liczb] liczby naturalne i podzielność  kluczyk  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl