szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 15:54 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Ełk
Mam problem z rozwiązaniem następującej rekurencji metodą przewidywań
a_{n}=a_{n-1}+2 \cdot a_{n-2}-\bigl((-1)^{n}+2 \cdot (-2)^{n}\bigl)-n
dla: n \ge 2,\quad a_{0}=3,\quad a_{1}=5

W moim rozwiązaniu wyszło
a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{10}+ \frac{41\cdot 2^{n}}{20} -(-1)^{n}+ \frac{8 \cdot (-2)^{n}}{5}  -\frac{3n}{4} + \frac{1}{4}

natomiast po wrzuceniu danych do programu Maxima dostałem taki wynik
a_{n}=\frac{2^{n+3}}{9} +(-2)^{n+1}- \frac{n(-1)^{n}}{3} + \frac{103 \cdot (-1)^{n}}{36}  + - \frac{n}{2} + \frac{5}{4}

Gdzieś ewidentnie popełniłem błąd, ale siedzę nad tym kolejny dzień i nic nie mogę znaleźć. Bardzo bym prosił o pomoc w tym zagadnieniu.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 17:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12447
Lokalizacja: Państwo Polin
W sumie wolałbym zastosować metodę funkcji tworzących, ale niech tam…
Równanie jednorodne:
a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}
ma równanie charakterystyczne
t^2-t-2=0\\ (t+1)(t-2)=0,
stąd rozwiązanie ogólne rekurencji jednorodnej jest postaci
A\cdot (-1)^n+B\cdot 2^n
gdzie A, \ B to pewne stałe.
Kluczowe jest przewidzenie rozwiązania szczególnego rekurencji niejednorodnej.
Dla fragmentu -(-1)^n przewidujemy c_1 n(-1)^n, a to ze względu na fakt, że -1 jest jednokrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego dla rekurencji jednorodnej.
Dla fragmentu -2\cdot (-2)^n przewidujemy po prostu c_2\cdot (-2)^n, ponieważ -2 nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego.
Dla fragmentu -n przewidujemy c_3\cdot n+c_4.


No i teraz wyliczamy te stałe, podstawiając:
zaczniemy może od c_3 i c_4, tj. ten fragment od -n.
c_3 \cdot n+c_4 =c_3\cdot (n-1)+c_4+2c_3\cdot (n-2)+2c_4-n
Traktujemy to jak równość wielomianów i mamy po prostych obliczeniach:
c_3=\frac 1 2, \ c_4=\frac 5 4
To teraz ten fragment z (-2)^n:
c_2\cdot (-2)^n=c_2(-2)^{n-1}+2c_2(-2)^{n-2}-2\cdot (-2)^n\\ c_2=-2
Wreszcie pozostaje fragment z c_1n(-1)^n:
c_1n(-1)^n=c_1(n-1)(-1)^{n-1}+2c_1(n-2)(-1)^{n-2}-(-1)^n\\c_1=-\frac 1 3
Czyli sumując to, widzimy, że
-\frac 1 3 n(-1)^n+(-2)^{n+1}+\frac 1 2 n+\frac 5 4
jest rozwiązaniem szczególnym naszej rekurencji niejednorodnej.
Natomiast trudno oczekiwać, żebyśmy wskazali, gdzie popełniłeś błąd, skoro nie pokazujesz obliczeń, a jedynie wynik :!:

Ostatecznie wyszedł mi taki pyton (rozwiązanie rekurencji niejednorodnej z uwzględnieniem warunków początkowych):

a_n=\frac{103}{36}\cdot (-1)^n+\frac{2^{n+3}}{9}+(-2)^{n+1}-\frac 1 3 n(-1)^n{\red +\frac n 2}+\frac 5 4
Fragment zaznaczony na czerwono mam inaczej niż podałeś z Maximy i za nic nie wychodzi inaczej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2018, o 17:33 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Ełk
Znalazłem błąd. Źle przewidziałem rozwiązanie dla -(-1)^{n}. Do tego doszły "uciekające" minusy i ostatecznie wynik mi się kompletnie rozjechał. Bardzo dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 [zadanie] Rozwiąż równanie  My4tic  1
 równanie - zadanie 4  fishman4  2
 Metoda dróg  Anonymous  8
 Rozwiąż równanie z silnią  kuzio87  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl