szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2018, o 15:59 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Aktualnie Brak
Witam, z góry przepraszam, jeśli trafiłem do złego działu, to mój pierwszy post na tym forum. Mam problem z pewnym zadankiem, w którym mam policzyć największą i najmniejszą wartość funkcji dwóch zmiennych ograniczoną polem D.

f(x,y)=  y^{2}+x

D: x^{2} + y^{2}  \le 9
oraz x + y  \ge 3

Z narysowaniem układu współrzędnych z polem D nie miałem żadnych problemów (powstaje obszar koła "uciętego" z lewej strony przez powstałą z drugiego równania prostą).

Problem zaczyna się, gdy przechodzę do liczenia pochodnych cząstkowych, bo w moim rozumieniu powinienem poszukać ekstremów, a następnie sprawdzić czy znajdują się one w obszarze D. Jednak pochodne cząstkowa po x wychodzi 1.

Normalnie przy poszukiwaniu ekstremów powinienem pochodne cząstkowe przyrównać do 0, ale pierwszy raz w zadaniu spotykam się z sytuacją, by jedna z pochodnych wynosiła 1, a nie mogę przecież przyrównać 1 do 0. Mogę z tego wnioskować, że ekstremów nie ma? Jeśli tak jest, to jak inaczej szukać największych i najmniejszych wartości funkcji?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2018, o 16:04 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18498
Lokalizacja: Cieszyn
Cytuj:
Jednak pochodne cząstkowa po x wychodzi 1.

Więc nie masz ekstremów lokalnych. Szukaj wartości największej / najmniejszej na brzegu.

Cytuj:
Witam, z góry przepraszam, jeśli trafiłem do złego działu, to mój pierwszy post na tym forum.

Ty nie witasz, witają Cię gospodarze forum. Na przyjęciu też zawsze wita gości gospodarz. Goście nie witają. Oczywiście tutaj to żadna sprawa, ale może warto wiedzieć o pewnej zasadzie savoir vivre. :) Wielu ludzi rozpoczyna maile słowem "Witam" i robią to w dobrej wierze (jak Ty tutaj), chcąc być grzecznymi. Ale właściwszą formą jest "Dzień dobry".

To że to Twój pierwszy post, nie jest żadnym argumentem za umieszczeniem Twojego posta w przypadkowym dziale. Należało przejrzeć spis poddziałów działu Analiza. Masz przecież Rachunek różniczkowy, gdzie Twój temat najbardziej pasuje.

Oczywiście nie mam pretensji, to takie rady na przyszłość. Jako były moderator, obecnie Gość Specjalny, witam Cię na forum. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2018, o 18:25 
Użytkownik

Posty: 4012
Do brzegu obszaru (D) zastosujemy Metodę Mnożników Lagrange'a.

max/min: f(x,y) = x + y^2

przy ograniczeniach:

g_{1}(x,y)= x^2 + y^2 = 9,

g_{2}(x,y) = x+y = 3.

\begin{cases} f'_{|x}(x,y) = \lambda_{1}g_{1|x}(x,y) + \lambda_{2}g_{2|x}(x,y)\\
f'_{|y}(x,y) =  \lambda_{1}g_{1|y}(x,y) + \lambda_{2}g_{2|y}(x,y) \\  g_{1}(x,y) = 9 \\ g_{2}(x,y)=3 \end{cases}

\begin{cases}1 = \lambda_{1}\cdot 2x +\lambda_{2}\cdot 1\\ 2y = \lambda_{1}\cdot 2y +\lambda_{2}\cdot 1 \\ x^2 + y^2 = 9 \\ x+y = 3 \end{cases}

Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy:

\left[ \begin{matrix} x_{1}\\ y_{1} \end{matrix}\right] =  \left[\begin{matrix} 0\\ 3 \end{matrix}\right].

\left[ \begin{matrix} x_{2}\\ y_{2} \end{matrix}\right] =  \left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right].

f_{najm.} = f(3, 0) = 3 + 0^2 = 3.

f_{najw.} = f(0, 3) = 0 + 3^2 = 9.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2018, o 19:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 852
Lokalizacja: MiNI PW
janusz47 napisał(a):
[...]
przy ograniczeniach:

g_{1}(x,y)= x^2 + y^2 = 9,

g_{2}(x,y) = x+y = 3.
[...]


Gdyby takie były ograniczenia, to brzeg składałby się tylko z dwóch punktów, niestety źle zastosowałeś tę metodę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lip 2018, o 19:38 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18498
Lokalizacja: Cieszyn
Na brzegu najprościej rozważyć dwa przypadki i zbadać ekstrema prostych funkcji jednej zmiennej.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 13 lip 2018, o 21:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13152
Lokalizacja: Wrocław
Można też to rozwiązać tak: gdy x^2+y^2\le 9, to
y^{2}+x\le y^2+x^2+\frac 1 4\le  \frac{37}{4}
z równością dla (x,y)=\left( \frac 1 2, \frac{\sqrt{35}}{2}\right)
oraz gdy x+y\ge 3, to
y^2+x\ge y+x-\frac 1 4\ge \frac{11}{4}
z równością dla (x,y)=\left( \frac 5 2, \frac 1 2\right)
(oczywiście oba te punkty spełniają zestaw obu warunków).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 pochodna funkcji  Anonymous  1
 Przebieg zmiennosci funkcji  Anonymous  3
 pochodna funkcji w punkcie  Anonymous  5
 Pochodna funkcji - zadanie 2  Anonymous  7
 Iterowanie funkcji.  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl