szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2018, o 14:37 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
Witam,
Próbuję rozwiązać zadanie 3 z tegorocznego II etapu Olimpiady matematycznej (https://www.om.edu.pl/sites/default/files/zadania/om/69-2.pdf) na płaszczyźnie zespolonej.
Wprowadzam A:  a^{2}, B:  b^{2}, C:  c^{2} na okręu jednostkowym. Wtedy punkt Q, jako środek łuku BC to -bc, a punkt P to bc. R jako rzut punktu P na cięciwę AC to \frac{1}{2}( a^{2}+c^{2}+bc-a^{2}c^{2}\bar{bc}). I punkt S, jako środek odcinka AQ to \frac{1}{2}(a^{2}-bc).
No i teraz mam te cztery wierzchołki czworokąta, którego cykliczność mamy wykazaći:
A:  a^{2}
B:  b^{2}
S:  \frac{1}{2}(a^{2}-bc)
R:  \frac{1}{2}( a^{2}+c^{2}+bc-a^{2}c^{2}\bar{bc})
I tutaj pojawia się moje pytanie. Jak mając te punkty wykazać, że czworokąt jest cykliczny? Wiem, że ludzie tak rozwiązywali to zadanie, czyli w jakiś łatwy sposób się da, jednak nie jestem w stanie na niego wpaść
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2018, o 20:19 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Toruń
Po pierwsze, we wzorze na R coś nie gra z wyrazem a^2b^2\bar{b}\bar{c};
Jeśli chodzi zaś o postawione pytanie, to zauważ, że warunek wpisywalności czworokąta XYZT w okrąg jest równoważny równości (skierowanych!) kątów XYT i XZT. W jaki sposób przekłada się to na zespo ukrywam, bo z powyższych słów fajnie to samemu wywnioskować
Ukryta treść:    

Nie wiem jakie są źródła do osięgnięcia biegłości w pałowaniu na zespo, ale tutaj znajdziesz w miarę przystępnie te najważniejsze wypisane z przykładami, może to być dla Ciebie użyteczne :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2018, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
Dziękuję za odpowiedź. Tak, tam powinno być a^{2}c^{2}\bar{bc}). Nawet korzystając z podanego przez ciebie warunku coś niezbyt mi wychodzi
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2018, o 18:32 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Toruń
Hmm, jeżeli gubisz się w rachunkach, a być może w tym siedzi problem, to warto przyjąć jakieś uproszczenia --- przykładowo bez straty ogólności możesz na początku obrócić sobie tak trójkąt ABC, by B i C były symetryczne względem rzeczywistej osi.

Przy takim uproszczeniu dorachowałem i wychodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2018, o 17:03 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
Wybacz, że tak cię męczę, ale mógłbyś nawet w formie zdjęcia kartki na której to robiłeś pozakać mi to dorachowanie? Bo liczę i liczę i nie wychodzi. Nawet z tym uproszczeniem
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2018, o 17:50 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Toruń
Luzik, proszę bardzo:
Przy podanym uproszczeniu nie musimy przyjmować współrzędnych jako kwadratów, bo to służyło nam tylko do łatwego wyliczenia środków łuków, a uproszczenie daje nam już to za darmo; ponadto wybieramy przy okazji tę orientację, w której 1 ląduje na środku tego łuku, na którym nie ma punktu A. Tym samym:
Współrzędne A,B,S,R to odpowiednio a, b, \dfrac12(a+1), \dfrac12 (a+c-1+ac). Dlatego by wykazać cykliczność ABSR rozważamy liczbę
\dfrac{2a - (a + c - 1 + ac)}{2a - (a + 1)} : \dfrac{2b - (a + c - 1 + ac)}{2b - (a + 1)} =
 \dfrac{(a+1)(1-c)}{a-1} \cdot \dfrac{2-ac-c}{2+c-ac^2-ac-c^2} = \dfrac{(a+1)(1-c)}{a-1} \cdot \dfrac{2-ac-c}{(2-ac-c)(1+c)} = \dfrac{(a+1)(1-c)}{(a-1)(1+c)}.
Tu po drodze rozszerzyliśmy ułamki przez 2 oraz dodatkowo rozszerzyliśmy drugi ułamek przez c (zauważ, że to uwalnia nas od związku liczb b i c, a więc możemy o nim "zapomnieć").
I żeby sprawdzić jej rzeczywistość wystarczy sprawdzić, że jest ona równa swemu sprzężeniu, czyli liczbie
\dfrac{(\frac1a + 1)(1-\frac1c)}{(\frac1a - 1)(1+\frac1c)}, co jest już widoczne dla oka.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2018, o 19:43 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
Dzięki wielkie! Nie wpadłem na to, że możemy pominąc te kwadraty
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Punkty na płaszczyźnie. - zadanie 2  Deshawn  1
 Punkty na jednej płaszczyźnie - zadanie 2  Thuddy  2
 Trójkąt równoboczny obejmujący punkty na płaszczyźnie  Jerycho  0
 twierdzenie o płaszczyźnie  Tomasz271000  1
 Znalezienie pozostałych wierzchołków czworokąta.  Fajken  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl