szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2018, o 12:07 
Użytkownik

Posty: 270
Lokalizacja: Lub
Udowodnij, że dla naturalnego n\ge 1, wyrażenie x^n-y^n jest podzielne przez x-y.

Wynika to natychmiast ze wzoru skróconego mnożenia x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1})
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2018, o 12:41 
Użytkownik

Posty: 1045
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Ja bym preferował tutaj indukcję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2018, o 12:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13173
Lokalizacja: Wrocław
Co do treści, to można się jeszcze zastanowić, jak traktować tę podzielność. Podzielność w sensie wielomianów dwóch zmiennych?

Nie widzę nic złego w tym rozwiązaniu, ale ciekaw jestem, na jakim poziomie pojawiło się takie zadanie, bo przy skorzystaniu z tego wzoru to jest trywialne, więc może nie o to chodziło pomysłodawcy (choć nie można się przyczepić do poprawności).

Można też to udowodnić indukcyjnie, korzystając z tego:
x^{n+1}-y^{n+1}=(x+y)(x^n-y^n)-xy(x^{n-1}-y^{n-1})
ale to chyba tylko komplikowanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2018, o 22:19 
Administrator

Posty: 23734
Lokalizacja: Wrocław
Zgadzam się z Premislavem, że zadanie jest niezbyt fortunnie sformułowane. Poproszony o wypowiedź przez mint18 mogę też potwierdzić, że bez kontekstu, gdzie to zadanie się pojawiło trudno ocenić, jaka odpowiedź może być uznana za satysfakcjonującą.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2018, o 22:22 
Użytkownik

Posty: 270
Lokalizacja: Lub
Chodzi o podzielność wielomianów (na co wskazuje również dział, w którym zostało zadane pytanie).
Robiłoby różnicę to czy zadanie pojawiłoby się na maturze lub na konkursie dla licealistów?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2018, o 23:01 
Administrator

Posty: 23734
Lokalizacja: Wrocław
Na maturze nie pojawi się.

A jeśli oczekiwałbym porządnego dowodu, to jednak bez indukcji się nie obejdzie - albo przy dowodzeniu podzielności, albo prawdziwości Twojego wzoru. Samo użycie wzoru trudno uznać za dowód, bo ten wzór jest wzmocnioną tezą Twojego zadania.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2018, o 23:32 
Gość Specjalny

Posty: 816
Lokalizacja: Zabrze
Zasadniczo się da bez indukcji. Poniższe rozumowanie da się też zapisać w języku licealnym, ale po co:

Pamiętamy, że mamy izomorfizm K\left[ x,y \right] \cong \left( K\left[ x\right] \right)\left[ y \right]. Rozważamy wielomian P \left( y \right) =x^n-y^n nad K\left[ x\right]. Jego pierwiastkiem jest x\in K\left[ x\right], więc na mocy tw. Bezouta P \left( y \right) =Q \left( y \right)  \left( x-y \right) dla pewnego Q\in \left( K\left[ x\right] \right)\left[ y \right]. Przepisując to z powrotem na K\left[ x,y \right] dostajemy, że x^n-y^n=\overline{Q} \left( x,y \right)  \cdot  \left( x-y \right) dla pewnego \overline{Q}\in K\left[ x,y \right].
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lip 2018, o 10:54 
Użytkownik

Posty: 270
Lokalizacja: Lub
A mówiąc jeszcze prościej, wielomian x^n-y^n jest wielomianem n-tego stopnia względem x. Jest on podzielny przez x-y wtedy i tylko wtedy, gdy ma pierwiastek x=y i rzeczywiście mamy y^n-y^n=0 dla dowolnej liczby naturalnej n.

Pytanie jednak dotyczyło oceny rozwiązania z pierwszego posta. Wasze zdania (Premislav i Jan Kraszewski) się różnią. Czy mógłbym dostać odpowiedź na ile % zostałoby one ocenione przez jakąś komisję sprawdzającą rozwiązania zadań?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lip 2018, o 11:06 
Administrator

Posty: 23734
Lokalizacja: Wrocław
mint18 napisał(a):
Czy mógłbym dostać odpowiedź na ile % zostałoby one ocenione przez jakąś komisję sprawdzającą rozwiązania zadań?

To jest pytanie, na które nie można udzielić jednoznacznej odpowiedzi - ja bym powiedział, że zostałaby oceniona na ileś tam procent...

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lip 2018, o 11:14 
Użytkownik

Posty: 270
Lokalizacja: Lub
Przez komisję maturalną (jeśli zmieniłby się zakres materiału i zadanie mogłoby się tam pojawić).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lip 2018, o 11:30 
Gość Specjalny

Posty: 816
Lokalizacja: Zabrze
mint18 napisał(a):
A mówiąc jeszcze prościej, wielomian x^n-y^n jest wielomianem n-tego stopnia względem x. Jest on podzielny przez x-y wtedy i tylko wtedy, gdy ma pierwiastek x=y


Z tego drugiego zdania trzeba się usprawiedliwić, bo ta równoważność nie jest oczywista (tzn. jest prosta, ale wypadałoby dopowiedzieć, dlaczego rozkład "względem x" da rozkład na czynniki wielomianowe względem obu zmiennych). Za to z pewnością można by było polecieć po % ;)

Okej, koniec OT
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lip 2018, o 11:34 
Administrator

Posty: 23734
Lokalizacja: Wrocław
To zupełnie wydumana sytuacja, i to z dwóch powodów. Po pierwsze, w rozsądnej przyszłości raczej nie ma szans by takie zadanie pojawiło się na maturze. Po drugie, gdyby jednak tak się stało, to miałbym klucz i to on mówiłby mi, jak mam ocenić to rozwiązanie.

Dodatkowo, takie zadanie nie pojawiłoby się raczej na maturze, bo nie bardzo wiadomo, co miałoby sprawdzać.

Trudno oceniać rozwiązanie tego zadania w oderwaniu od kontekstu, bo to kontekst określa, co jest dozwolone/oczekiwane/wymagane. Może być ocenione na maksa, bo wzór jest prawdziwy i wynika z niego podzielność, ale może też zostać za niewystarczające, gdyż przywołany fakt nie został udowodniony, a jest on de facto wzmocnieniem tezy.

Natomiast muszę się zgodzić, że indukcja do wykazania podzielności istotnie nie jest niezbędna.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lip 2018, o 15:12 
Użytkownik

Posty: 691
Lokalizacja: Polska
W Math Teaching Textbooks jest takie zadanie:
Prove that x^n-y^n is divisible by x-y .

Podane rozwiązanie korzysta z indukcji matematycznej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lip 2018, o 16:57 
Użytkownik

Posty: 1045
Lokalizacja: Górnicza Dolina
x^{n+1}-y^{n+1}=\left( x^n-y^n\right)x+y\left( x^n-y^n\right)+xy^n-yx^n= \\ =\left(x+y\right)\left( x^n-y^n\right)-xy\left( x^{n-1}-y^{n-1}\right)

x^n-y^n oraz x^{n-1}-y^{n-1} są podzielne przez x-y z założeń indukcyjnych, których tu nie zapisałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lip 2018, o 17:13 
Administrator

Posty: 23734
Lokalizacja: Wrocław
Benny01 napisał(a):
x^{n+1}-y^{n+1}=\left( x^n-y^n\right)x+y\left( x^n-y^n\right)+xy^n-yx^n= \\ =\left(x+y\right)\left( x^n-y^n\right)-xy\left( x^{n-1}-y^{n-1}\right)

No to już było u Premislava...

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Parametry p i q w wielomianie i podzielność tego wielomia  filip1001  1
 podzielność wielomianu - zadanie 10  tomek nh  1
 Podzielność z parametrem, duże potęgi  kam51  0
 Wielomiany - podzielność  whitemanxy  6
 Podzielność wielomianu  nykus  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl