szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Online
PostNapisane: 24 lip 2018, o 14:02 
Użytkownik

Posty: 1753
Lokalizacja: Kraków
Oblicz całkę powierzchniową
\int_{M}^{}F\sigma_2(d(x,y,z)),
gdzie F(x,y,z)=y, a M jest powierzchnią wyciętą z kuli jednostkowej w \RR^3 o środku (0,0,0) przzeez płaszczyznę x=-y.

To po pierwsze co się kryje za tym zapisem pod całką? Czy to jest to samo co po prostu:
\int_{M}^{}F(x,y,z) \mbox{d}M? A po drugie jak sobie poradzić z tym, że nie jest jawnie wyznaczone z(x,y)?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2018, o 21:45 
Użytkownik

Posty: 3213
Powierzchnię jakiej figury otrzymamy, w wyniku przecięcia jednostkowej kuli o środku w punkcie (0,0,0) płaszczyzną o równaniu x= -y ?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 25 lip 2018, o 12:21 
Użytkownik

Posty: 1753
Lokalizacja: Kraków
No to będzie wielkie koło kuli zawierające punkt (0,0,0) i którego wektor prostopadły doń będzie [1,1,0].
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lip 2018, o 21:14 
Użytkownik

Posty: 3213
Nie! Podstawiamy x = -y do równania jednostkowej kuli.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 25 lip 2018, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 1753
Lokalizacja: Kraków
No to dostaniemy: 2y^2+z^2 \le 1 czyli by z tego wynikało, że będzie to elipsa, ale jak to jest możliwe, że przecięcie kuli z płaszczyzną jest czymś innym niż koło?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2018, o 13:36 
Użytkownik

Posty: 3213
Jest to możliwe, bo jego rzuty na płaszczyzny Ozy czy Oxz są elipsami.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 30 lip 2018, o 12:06 
Użytkownik

Posty: 1753
Lokalizacja: Kraków
Nie bardzo sobie to mogę wyobrazić. Czyli jak to będzie: \int_{2y^2+z^2 \le 1}^{}y \mbox{d}S
? W ten sposób?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 8 sie 2018, o 23:06 
Użytkownik

Posty: 1753
Lokalizacja: Kraków
A tak nawiasem to głupoty gadasz. Przecięciem płaszczyzny z kulą jest koło i w tym przypadku to jest koło wielkie kuli.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 3213
A tak nawiasem czy równanie

2y^2 +z^2 = 1 jest równaniem koła wielkiego kuli?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 9 sie 2018, o 15:41 
Użytkownik

Posty: 59
Lokalizacja: Szkocja; Polska
Cytuj:
2y^2 +z^2  =  1


W przestrzeni ta równość opisuję powierzchnie boczną walca eliptycznego, więc nie jest to elipsa.

Ogólnie rzecz biorąc chcemy rozwiązać taki układ (żeby wyznaczyć co to jest M)

\begin{cases} x=-y\\x^2+y^2+z^2  \le  1 \end{cases}

Wstawienie pierwszego równania do nierówności to przejście implikacyjne więc wiemy, że te punkty muszą spełniać nierówność 2y^2 +z^2  \le 1. Jednak nie wszystkie należą do przekroju.

Nie ma żadnej sprzeczności przecięcie tego walca eliptycznego z płaszczyzną x+y=0 jest kołem.

----
edit:

Tak więc M  \subseteq \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2  \le  1 \} ale nie M  = \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2  \le  1\}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 16:02 
Użytkownik

Posty: 3213
W płaszczyżnie Oyz to równanie opisuje elipsę a nie powierzchnię walca eliptycznego.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 9 sie 2018, o 16:11 
Użytkownik

Posty: 59
Lokalizacja: Szkocja; Polska
janusz47 napisał(a):
W płaszczyżnie Oyz to równanie opisuje elipsę a nie powierzchnię walca eliptycznego.

No tak, ale użytkownik max123321 zauważył, że M musi być kołem, bo przecięcie kuli płaszczyzną może być zbiorem pustym, punktem lub kołem. To doprowadziło go do sprzeczności bo przecież to równanie opisuję, według niego elipsę (nie będącą kołem).

Toteż tłumaczę dlaczego nie ma sprzeczności bo w przestrzeni to nie jest równanie elipsy, a cześć wspólna walca eliptycznego i płaszczyzny może być kołem.

----
edit:
max123321 napisał(a):
Nie bardzo sobie to mogę wyobrazić. Czyli jak to będzie: \int_{2y^2+z^2 \le 1}^{}y \mbox{d}S
? W ten sposób?


Nie może tak być, bo jak pisałem wyżej nierówność 2y^2+z^2 \le 1 nie opisuje płatu M.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 3213
Powierzchnią boczną M w przestrzeni \RR^3 jest:

-powierzchnia S_{1} - walca eliptycznego o równaniu:

\frac{y^2}{\frac{1}{2}}+ \frac{z^2}{1} = 1

S_{1}: \ \ y =  \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{z^2}{2}}.

- powierzchnia S_{2} - zawarta w jednostkowej kuli - kawałka płaszczyzny o równaniu:

S_{2}: \ \ -y = x.

Rzut obu tych powierzchni E na płaszczyznę Oxz jest elipsą o równaniu:


\frac{x^2}{\frac{1}{2}} + \frac{z^2}{1} = 1.


Obliczamy całki powierzchniowe niezorientowane odpowiednio po powierzchniach:

S_{1}:

I_{1} = 2 \iint_{(E)} y \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{ \partial x} \right)^2+ \left (\frac{\partial y}{\partial z}\right )^2} dz dx (1)

S_{2}:

I_{2} =  \iint_{(E)} y \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{ \partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right )^2} dz dx (2)

Całka I po powierzchi M jest sumą tych dwóch całek:

I = I_{1} + I_{2}.

Proszę znaleźć elementy płatów powierzchni, obliczając pochodne cząstkowe równań powierzchni S_{1}, S_{2}.

Zamienić całki podwójne (1), (2) na całki podwójne iterowane po elipsie E.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 sie 2018, o 20:01 
Użytkownik

Posty: 1753
Lokalizacja: Kraków
_Michal napisał(a):
Cytuj:
2y^2 +z^2  =  1


W przestrzeni ta równość opisuję powierzchnie boczną walca eliptycznego, więc nie jest to elipsa.

Ogólnie rzecz biorąc chcemy rozwiązać taki układ (żeby wyznaczyć co to jest M)

\begin{cases} x=-y\\x^2+y^2+z^2  \le  1 \end{cases}

Wstawienie pierwszego równania do nierówności to przejście implikacyjne więc wiemy, że te punkty muszą spełniać nierówność 2y^2 +z^2  \le 1. Jednak nie wszystkie należą do przekroju.

Nie ma żadnej sprzeczności przecięcie tego walca eliptycznego z płaszczyzną x+y=0 jest kołem.

----
edit:

Tak więc M  \subseteq \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2  \le  1 \} ale nie M  = \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2  \le  1\}.


No, ale zazwyczaj wstawianie jednego z równań do drugiego daje to co jest w przekroju. Kiedy tak jest? No dobrze, a jak byśmy nie mieli nierówności tylko równość i taki układ:

\begin{cases} x=-y\\x^2+y^2+z^2  =  1 \end{cases}

To czy wstawienie pierwszego równania do drugiego da przekrój?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz całkę powierzchniową - zadanie 3  max123321  7
 oblicz całke powierzchniową  bazalt94  3
 Całka powierzchniowa - zadanie 6  km__87  0
 zamiana całki z formy różniczkowej na całkę zwykła  trebor85  1
 Korzystając z twierdzenia Stokesa obliczyć całkę  piotrek2008  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl