szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lip 2018, o 13:18 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Sierpc
Cześć wszystkim, ponieważ jestem nowym użytkownikiem tej strony, to proszę o wyrozumiałość w kwestii logowania i zapisu zadań :)

Ciekawe, czy ktoś zna te zadania :lol:


Zadanie 1 część b.
Sprawdź różniczkowalność w punkcie \left( 0,0 \right) dla funkcji

f \left( x,y \right)  =  \left( x^2 + y^2 \right)   \cdot  \sin  \left( \frac{1}{x^2 + y^2} \right) dla f \left( 0,0 \right)  = 0

Czy pochodne cząstkowe tej funkcji są ciągłe?

Zadanie 2.
Sprawdź, że zbiór punktów \left( x, y, z \right) \in\mathbb{R}^{3} spełniających równanie xy+yz+zx=0 jest w otoczeniu punktu \left( 1,-\frac{1}{2}, 1 \right) wykresem funkcji y = y \left( x,z \right). Znajdź płaszczyznę styczną do wykresu funkcji w tym punkcie.


Byłbym bardzo wdzięczny za odpowiedź :lol:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lip 2018, o 14:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13173
Lokalizacja: Wrocław
Co do pierwszego, z definicji to jest równoważne istnieniu takich rzeczywistych a,b, że
\lim_{(h_1, h_2) \to (0,0)} \frac{|f(h_1, h_2)-f(0,0)-ah_1-bh_2|}{ \sqrt{h_1^2+h_2^2} } =0
natomiast z treści zadania f(h_1, h_2)=(h_1^2+h_2^2)\sin \left( \frac{1}{h_1^2+h_2^2}\right) i f(0,0)=0.
Ponieważ iloczyn funkcji ograniczonej (taką jest sinus dla rzeczywistych argumentów) i dążącej do zera ma granicę zero, więc sprowadza się to do pytania, czy dla pewnych a,b\in \RR jest
\lim_{ (h_1, h_2)\to (0,0)}- \frac{ah_1+bh_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0
Odpowiedź brzmi: TAK i łatwo takowe wskazać, a=b=0.
Ogólniej: https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_derivative
Natomiast tak się okazuje, że pochodne cząstkowe tej funkcji nie są ciągłe w (0,0) (zadanie pokazuje zatem, że istnienie i ciągłość pochodnych cząstkowych w punkcie nie jest warunkiem koniecznym różniczkowalności w punkcie).
Zauważmy, że dla funkcji podanej w treści zadania jest f(x,y)=f(y,x) dla dowolnych x,y \in \RR, zatem wystarczy sprawdzić ciągłość np. pochodnej cząstkowej po x w punkcie (0,0).
Liczymy pochodną cząstkową po x w (0,0) z definicji:
\lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{h^2\sin\left( \frac{1}{h^2}\right) }{h} = \lim_{h \to 0}h\sin\left( \frac{1}{h^2}\right) =0
Tymczasem dla (x,y)\neq (0,0) mamy
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin\left( \frac{1}{x^2+y^2}\right) - \frac{2x}{x^2+y^2} \cos\left( \frac{1}{x^2+y^2}\right)
i granica tego wyrażenia przy (x,y)\rightarrow (0,0) nie istnieje, by się o tym przekonać, wystarczy np. rozważyć zachowanie
- \frac{2x}{x^2+y^2} \cos\left( \frac{1}{x^2+y^2}\right) dla ciągu punktów (x_n, y_n)=\left( \frac{1}{\sqrt{n\pi}}, 0\right), \ n\in \NN^+
Podobnie w (0,0) nie jest ciągła pochodna cząstkowa po y funkcji
f(x,y)=(x^2+y^2)\sin\left( \frac 1 {x^2+y^2}\right).



W zadaniu drugim należy skorzystać z wariantu twierdzenia o funkcji uwikłanej dla wielu zmiennych. A wzór na płaszczyznę styczną funkcji f(x,y) klasy C^1 w o punkcie (x_0, y_0) to jest znany jakiś, oto on:
z-f(x_0, y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot (x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot (y-y_0)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2018, o 12:38 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Sierpc
Dzięki serdeczne :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 13:29 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Sierpc
Czy chodzi o definicję funkcji pierwotnej, bo z tego co wiem, pochodna z całki funkcji jest równa funkcji standardowej

Niech u: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R} bedzie dana wzorem

u(t)=\left\{\begin{array}{l} \frac{\sin t}{t}\\1 \end{array}
gdzie argument funkcji \frac{\sin t}{t} i t\neq 0, oraz wartość 1 dla t =0

Czy funkcja \phi(x) = \int_{-1}^{x}  u jest różniczkowalna?

Bo robiłem tak, na zasadzie sprawdzenia, czy układ funkcji jest ciągły, to najpierw obliczyłem obustronną granicę funkcji \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} korzystając z twierdzenia l'Hospitala i wychodziła mi granica 1
Nie wiem czy dobrze :roll:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 13:52 
Użytkownik

Posty: 15828
Lokalizacja: Bydgoszcz
Funkcja u jest ciągła, zatem jej funkcja pierwotna jest różniczkowalna. Postać funkcji u nie ma żadnego znaczenia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 13:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13173
Lokalizacja: Wrocław
Dodam tylko, że nie powinno się raczej liczyć
\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} z twierdzenia de l'Hospitala, ponieważ do wyznaczenia tej granicy z użyciem tw. de l'Hospitala potrzebna jest znajomość pochodnej funkcji sinus, a przy liczeniu tej pochodnej z definicji pojawia się właśnie konieczność skorzystania ze znajomości tej granicy \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} , czyli powstaje błędne koło. Ewentualnie można sobie wyobrazić, że sinus i cosinus zdefiniowano szeregami potęgowymi (oczywiście wprowadzając wcześniej podstawową wiedzę o szeregach potęgowych), tak jak się to przeważnie robi np. na funkcjach analitycznych, i wówczas pochodną sinusa otrzymujemy z różniczkowania wyraz po wyrazie odpowiedniego szeregu potęgowego (wtedy nie ma błędnego koła i można użyć de l'Hospitala), ale raczej to podejście jest rzadkie na podstawowym kursie analizy.

Jednak na poziomie, na którym obecnie się znajdujesz (całki itd.) raczej można uznać tę granicę za znaną. A standardowo wykazuje się, że jest ona równa 1, korzystając z parzystości \frac{\sin t}{t} i z tego, że dla t\in\left( 0, \frac \pi 2\right)
zachodzą nierówności \sin t<t<\tg t.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sie 2018, o 13:23 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Sierpc
Dzięki serdeczne :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Analiza Matematyczna - zadanie 2  TwisterNH  6
 Analiza matematyczna - zadanie 13  wojtekqwe  7
 analiza matematyczna - zadanie 11  mistrz23  3
 Analiza matematyczna - zadanie 9  czarny91  11
 analiza matematyczna - zadanie 8  matematyk89  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl