szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2018, o 18:24 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Kraków
Mam takie coś:

\sqrt[n]{5^n} = 5

Od razu mogłem pozbyć się pierwiastka. Natomiast co w takiej sytuacji?

\sqrt[n]{5^n + 6^n}

Czy mogę w taki sposób pozbyć się pierwiastka?

\sqrt[n]{5^n + 6^n} = 5 + 6 = 11

Jeśli nie mogę, to dlaczego nie? Ja rozumiem, że nie mógłbym np. w takiej sytuacji:

\sqrt[n]{5^n + 6}

Pytam, bo w sumie trochę pozapominałem jak działają podstawy matematyki, a jest mi to potrzebne do twierdzenia o trzech ciągach i zaspokojenia mojej ciekawości.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2018, o 18:52 
Użytkownik

Posty: 12526
Sprawdź sobie np. dla n=2. Działa?

Zwykle uzasadniamy, dlaczego można coś zrobić, a nie dlaczego nie można. Jeśli stracisz jakieś punkty na kolokwium za stosowanie dziwnych, być może niepoprawnych (jak tutaj) własności i pójdziesz się wykłócać o punkty z użyciem argumentu „dlaczego nie?", to nie wróżę szczęścia.
Na pewno można zrobić coś takiego: dla dowolnego n\in \NN^+ i dowolnych x>0, \ y>0 mamy x=y \Leftrightarrow x^n=y^n,
zatem \sqrt[n]{5^n+6^n}=5+6 \Leftrightarrow 5^n+6^n=(5+6)^n.
No ale dla n\ge 2 zachodzi:
(5+6)^n=11^n=11\cdot 11^{n-1}=(5+6)\cdot 11^{n-1}=5\cdot 11^{n-1}+6\cdot 11^{n-1}>\\ >5\cdot 5^{n-1}+6\cdot 6^{n-1}=5^n+6^n


Zainwestuj może w jakiś podręcznik do szkoły średniej albo ostatnich klas podstawówki (ja w liceum korzystałem z książki, której autorami byli Kłaczkow, Kurczab i Świda, ale niekoniecznie jest to jakaś świetna pozycja, możesz poszukać opinii o podręcznikach do matmy w necie). Możesz też poszperać za jakimiś kompendiami online, typu matemaks czy coś – nie korzystałem nigdy, ale wiem, że są takie rzeczy. Bo z takimi zaległościami to nie widzę nauki analizy (to nie złośliwość).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2018, o 19:51 
Użytkownik

Posty: 2253
Lokalizacja: Warszawa
Ranolmz napisał(a):
\sqrt[n]{5^n + 6^n}

Czy mogę w taki sposób pozbyć się pierwiastka?

\sqrt[n]{5^n + 6^n} = 5 + 6 = 11

Jeśli nie mogę, to dlaczego nie?

Ranolmz, uzmysłów sobie, że pierwiastkowanie można zapisać tak:

\sqrt[n]{(\text{cośtam})}=(\text{cośtam})^ \frac{1}{n}

lub ogólniej:

\sqrt[n]{(\text{cośtam})^m}=(\text{cośtam})^ \frac{m}{n}

Teraz bez trudu zauważysz, że jeśli a+b \neq 0

to

\sqrt[n]{(a+b)^m}=(a+b)^ \frac{m}{n}  \neq a^ \frac{m}{n} + b^ \frac{m}{n}


:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2018, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 12526
Dilectus napisał(a):
Teraz bez trudu zauważysz, że jeśli a+b \neq 0

to

\sqrt[n]{(a+b)^m}=(a+b)^ \frac{m}{n}  \neq a^ \frac{m}{n} + b^ \frac{m}{n}

Przecież jeśli dokładnie jedna z liczb a,b będzie równa zero, to jednak równość zajdzie. Może miało być ab\neq 0
Swoją drogą bardziej wprawiony czytelnik (nie mówię, że ja jestem wprawiony) mógłby się przy tej okazji zadumać nad równaniem funkcyjnym w rzeczywistych (no patrząc na ten wątek, to należałoby dodać, że nieujemnych) f(x+y)=f(x)+f(y). Jedyne ciągłe rozwiązania tego równania są postaci f(t)=at, gdzie a to dowolna stała rzeczywista. Oczywiście funkcja
f(x)=x^{\frac{1}{n}} dla n\neq 1 nie jest tej postaci.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lip 2018, o 00:02 
Użytkownik

Posty: 2253
Lokalizacja: Warszawa
Cytuj:
Przecież jeśli dokładnie jedna z liczb a,b będzie równa zero, to jednak równość zajdzie. Może miało być ab\neq 0

Oczywiście masz rację. Przez nieuwagę nie zapisałem tego warunku. Pierwotnie miało być

a+b \neq 0 \wedge ab\neq 0

:)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rownianie pierwiastek zalozenia  viruss3000  1
 Wykaż nierówność (pierwiastek ósmego stopnia, potęgi).  amona16  2
 usuń pierwiastek przez podstawienie za 'x'  ranma1988  1
 potęgi i pierwiastek  oemxuser  4
 kwadrat z pierwiastka, a pierwiastek z kwadratu  na07  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl