szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2018, o 21:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 366
Lokalizacja: Rybnik
Wykaż,że dla każdej naturalnej n>1 zachodzi równość

\sqrt{2+ \sqrt{2+...+ \sqrt{2} } }=2\cos \frac{\pi}{2 ^{n+1} } (npierwiastków)

Moja próba rozwiązania:
Warunek bazowy,dla n=1 zachodzi.Zakładając,że dla pewnej k \in \mathbb{N},gdzie n=k równość ta zachodzi,tzn.

\sqrt{2+ \sqrt{2+...+ \sqrt{2} } }=2\cos \frac{\pi}{2 ^{k+1} }

Wykażmy teraz że równość ta zachodzi też dla n=k+1.

\sqrt{2+ \sqrt{2+...+ \sqrt{2+ \sqrt{2} } } }=2\cos \frac{\pi}{2 ^{k+2} }

Tutaj mam problem bo nie wiem jak to by szło,myślę że to błąd,lecz napiszę :P
2\cos \frac{\pi}{2 ^{k+1} }+ \sqrt{2}=2\cos \frac{\pi}{2 ^{k+2} }
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2018, o 21:12 
Użytkownik

Posty: 1016
Lokalizacja: Górnicza Dolina
W drugim kroku powinno być, że zachodzi dla n \le k.
W trzecim kroku to wygląda tak: \sqrt{2+2 \cdot \cos \frac{\pi}{2^{k+1}}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2018, o 22:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 366
Lokalizacja: Rybnik
Tak,n \le k masz rację,ogólnikowo pisałem.
Jeżeli chodzi o ten pierwiastek to fajnie nie wiedziałem jak to wstawić,dzięki.
Reszta chyba dobrze.
\sqrt{2+2 \cdot \cos \frac{\pi}{2^{k+1}}}=2\cos \frac{\pi}{2 ^{k+2} }

2+2 \cdot \cos \frac{\pi}{2^{k+1}}=4\cos ^{2}  \frac{\pi}{2 ^{k+2} }

1+\cos \frac{\pi}{2^{k+1}}=2\cos ^{2}  \frac{\pi}{2 ^{k+2} }

\cos 0+\cos \frac{\pi}{2^{k+1}}=2\cos ^{2}  \frac{\pi}{2 ^{k+2} }

2\cos \frac{ \frac{\pi}{2 ^{k+1} } }{2}\cdot \cos \frac{ \frac{\pi}{2 ^{k+1} }}{2}=2\cos ^{2}  \frac{\pi}{2 ^{k+2} }

2\cos ^{2} \frac{\pi}{2 ^{k+2} }=2\cos ^{2} \frac{\pi}{2 ^{k+2} }
c.n.d
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2018, o 23:04 
Administrator

Posty: 22649
Lokalizacja: Wrocław
Taki (niezbyt elegancki) sposób przeprowadzania dowodów indukcyjnych wymaga, by wszystkie przejścia były równoważne (co trzeba wyraźnie zaznaczyć i w wątpliwych miejscach uzasadnić). A to miejsce
xxDorianxx napisał(a):
\sqrt{2+2 \cdot \cos \frac{\pi}{2^{k+1}}}=2\cos \frac{\pi}{2 ^{k+2} }

2+2 \cdot \cos \frac{\pi}{2^{k+1}}=4\cos ^{2}  \frac{\pi}{2 ^{k+2} }

jest dla mnie wątpliwe.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2018, o 23:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 366
Lokalizacja: Rybnik
Ma Pan na myśli fakt braku komentarza gdy dźwigam obustronnie do kwadratu?
Jeśli tak to oczywiście, zapomniałem o tym tutaj wspomnieć,jednakże jest to dozwolone gdyż
\cos \frac{\pi}{2^{k+2}}} zwraca dla dowolnego k spełniającego założenia wartości dodatnie.Gdyż wszystkie te argumenty leżą w przedziale od \left( 0; \frac{\pi}{8}\right\rangle.Dlatego że najmniejsze możliwe k to 1.A wtedy argument wynosi właśnie nasze \frac{\pi}{8} a wraz z wzrostem wartości k maleje wartość całego wyrażenia do 0 co wynika z faktu \lim_{k \to  \infty } \frac{\pi}{2 ^{k+2} }=0.A w tym przedziale wartości są dodatnie co widać ładnie na wykresie f(x)=\cos x
Podobnie dochodzimy do wniosku lewej strony naszego równania.Mam nadzieję,że tutaj mam rację.Jeśli tak nie jest proszę o poprawienie mnie.Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sie 2018, o 23:16 
Administrator

Posty: 22649
Lokalizacja: Wrocław
xxDorianxx napisał(a):
Ma Pan na myśli fakt braku komentarza gdy dźwigam obustronnie do kwadratu?

Dokładnie o to mi chodziło. Dowód to nie tylko rachunki.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcyjny dowód równości  Kvothe  10
 Indukcyjny dowód podzielności  PMichalak  1
 Dowód centrum w grafie skierowanym  chlebzmaslem  0
 Poprawny dowód?  karsta100  0
 Dowód na rekurencyjnym  Fundak  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl