szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2018, o 12:39 
Użytkownik

Posty: 304
Lokalizacja: Opole
Zadanie z poradnika CKE (zamknięte), czyli powiedziałbym o czasie rozwiązywania 1-2 min. Ma ktoś jakiś pomysł, jak nie liczyć tego w 5-10 min? (Wzory skróconego mnożenia przyspieszają rozwiązanie w ograniczony sposób). Odp.\frac{32}{13}

\lim_{x \to - \infty }  \frac{\left( 2x+1\right) ^{4} -\left( 2x+3) ^{4} \right }{\left( x+3\right) ^{3} -\left( 3x-1\right) ^{3}   }
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2018, o 12:52 
Użytkownik

Posty: 12526
Wzory skróconego mnożenia przecież od razu załatwią sprawę.
a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)\\ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
Oczywiście nie wykonuj tego potęgowania w wyrażeniach typu a^2b :!:
Po skorzystaniu z tych wzorów dzielisz licznik i mianownik przez x^3 i od razu z tw. o arytmetyce granic masz wynik, sądzę, że czas rozwiązania to 2 minuty.

\frac{\left( 2x+1\right) ^{4} -\left( 2x+3) ^{4} \right }{\left( x+3\right) ^{3} -\left( 3x-1\right) ^{3} }= \frac{-2((2x+1)^3+(2x+1)^2(2x+3)+(2x+1)(2x+3)^2+(2x+3)^3)}{(-2x+2)((x+3)^2+(x+3)(3x-1)+(3x-1)^2)}=\\= \frac{\left( 2+\frac 1 x\right)^3+\left( 2+\frac 1 x\right)^2\left( 2+\frac 3 x\right) +\left( 2+\frac 1 x\right)\left( 2+\frac 3 x\right)^2+\left( 2+\frac 3 x\right)^2     }{\left( 1-\frac 1 x\right)\left( \left( 1+\frac 3 x\right)^2+\left( 1+\frac 3 x\right)\left( 3-\frac 1 x\right)+\left( 3-\frac 1 x\right)^2    \right)  }

To tylko strasznie wygląda, obliczenia są szybkie i śmieszne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2018, o 12:54 
Użytkownik

Posty: 22679
Lokalizacja: piaski
To też w zasadzie wzory (i raczej liczyłbym klasycznie) - ale wynikiem będzie iloczyn współczynników stojących przy najwyższych potęgach x-sa (z licznika i mianownika) i tylko te można wyznaczać (czy to szybsze - nie wiem - bałbym się pomyłki).

[edit] W mianowniku na pewno szybsze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2018, o 12:57 
Użytkownik

Posty: 304
Lokalizacja: Opole
Premislav, wszystko jasne, tylko tego pierwszego wzoru nie mają w szkole średniej. Mogą tylko dwa razy użyć różnicy kwadratów, a to nie przyspieszy rozwiązania zbytnio niestety
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2018, o 13:00 
Użytkownik

Posty: 22679
Lokalizacja: piaski
Po szkolnemu :
licznik z a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2) i tu uzyskamy x^3 z x^2\cdot x z odpowiednimi współczynnikami
mianownik x^3 jest od razu z odpowiednim współczynnikiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2018, o 13:11 
Użytkownik

Posty: 12526
That's pretty good!

Ale mnie to zdziwiło, że nie ma już w szkole wzoru na a^n-b^n, u mnie na rozszerzeniu był (a moja szkoła pod względem matematyki wypadała nędznie), można go było znaleźć też w książce do rozszerzenia autorów o nazwiskach Kłaczkow, Kurczab, Świda.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2018, o 14:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1306
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
tylko tego pierwszego wzoru nie mają w szkole średniej.
Jest i to nawet ogólniejszy na 3 stronie tablic maturalnych które obowiązują już podstawę programową.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2018, o 19:37 
Użytkownik

Posty: 15125
Lokalizacja: Bydgoszcz
To, czy jest wzór czy nie nie ma żadnego znaczenia. Bez wzorów skróconego mnożenia się nie da? Na paluchach podnieść do odpowiednich potęg, poodejmować i już.

A najprościej to chyba tak:

=\frac{[(2x+1)^2+(2x+3)^2][(2x+1)^2-(2x+3)^2]}{(x+3)^3\left(1-\frac{(3x-1)^3}{(x+3)^3}\right)}
\\=\frac{-2[(2x+1)^2+(2x+3)^2](4x+4)}{(x+3)^3\left(1-\frac{(3x-1)^3}{(x+3)^3}\right)}\\
=-2\red\frac{(2x+1)^2+(2x+3)^2}{(x+3)^2}\green\frac{4x+4}{x+3}\blue\frac{1}{1-\frac{(3x-1)^3}{(x+3)^3}}\black\to -2\cdot\red 8\black\cdot \green 4\black\cdot\blue \frac{-1}{26}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2018, o 22:39 
Użytkownik

Posty: 12526
Nikt nie twierdził, że bez wzorów skróconego mnożenia się nie da. ☺ Po prostu podnoszenie na piechotę do odpowiednich potęg trwa dłużej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sie 2018, o 11:00 
Użytkownik

Posty: 550
Janusz Tracz napisał(a):
Cytuj:
tylko tego pierwszego wzoru nie mają w szkole średniej.
Jest i to nawet ogólniejszy na 3 stronie tablic maturalnych które obowiązują już podstawę programową.

W tablicach jest, ale obecnych maturzystów nie obowiązuję jego znajomość.Być może dla tych nowych uczniów którzy pójdą do 8-klasowych podstawówek będzie to wymagane bo kojarzę ,że program dla nich jest minimalnie szerszy.Ale to i tak dopiero za jakieś 5 lat na maturze ...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica funkcji.  marcin-tryka  5
 Dowod na to, że granica wynosi 1  CmL  9
 Granica funkcji w punkcie  Anonymous  1
 Granica funkcji (funkcje trygonometryczne)  Anonymous  2
 Ciekawa granica, dowód .  kaarol  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl