szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sie 2018, o 20:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 366
Lokalizacja: Rybnik
Witam mam mały kłopot z jednym zadankiem: Udowodnij,że liczba wymierna ma tylko jedno,z dokładnością do znaku licznika i mianownika,przedstawienie w postaci ułamka nieskracalnego

Poniżej znajduję się moje podejście:
Ukryta treść:    
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sie 2018, o 21:05 
Gość Specjalny

Posty: 5788
Lokalizacja: Toruń
Przypuśćmy, że istnieją dwa przedstawienia \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2}{q_2}, co z tego wynika, w szczególności co można powiedzieć o NWD.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sie 2018, o 21:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 366
Lokalizacja: Rybnik
Wtedy NWD(p_1,q_1)=1 oraz NWD(p_2,q_2)=1 jednak po kombinowaniu z tym nic nie doszedłem nigdzie.

-- 5 sie 2018, o 20:49 --

hmm chyba,że coś takiego mam:
Jeśli \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2}{q_2} to po przekształceniu daje 1= \frac{p_2q_1}{p_1q_2}.Zatem aby to równanie było prawdziwe to \frac{p_2q_1}{p_1q_2} \in \mathbb{Z} Teraz trzeba wykazać,że liczba ta nie jest całkowita na mocy tych NWD

-- 5 sie 2018, o 20:57 --

A może jeszcze przecież 1= \frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}a przecież q_1 nie dzieli p_1 oraz q_2 nie dzieli p_2 to liczba ta nie jest całkowita co prowadzi to sprzeczności i kończy dowód.Dobrze tutaj kminie czy total blef?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2018, o 09:01 
Gość Specjalny

Posty: 5788
Lokalizacja: Toruń
To drugie podejście to blef. Skupmy się na tym, że p_2 q_1 = p_1 q_2. Oznacza to, że p_1 dzieli q_1 p_2. Skoro nie dzieli q_1, to p_2 = k \cdot p_1...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2018, o 11:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 366
Lokalizacja: Rybnik
Chyba mam.
Jeśli p_1|q_1p_2 oraz NWD(p_1,q_1)=1 to na mocy Zasadniczego Twierdzenia Arytmetyki mamy,że p_2|p_1
Jeśli p_2|q_2p_1 oraz NWD(p_2,q_2)=1 to na mocy Zasadniczego Twierdzenia Arytmetyki mamy,że p_1|p_2.
No i jeśli p_1|p_2 i p_2|p_1 to jest prawdziwe dla p_1=p_2.Tak samy wykazujemy,że q_1=q_2i mamy koniec dowodu.Teraz jest okej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2018, o 12:09 
Gość Specjalny

Posty: 5788
Lokalizacja: Toruń
Wygląda okej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2018, o 17:03 
Administrator

Posty: 22649
Lokalizacja: Wrocław
xxDorianxx napisał(a):
No i jeśli p_1|p_2 i p_2|p_1 to jest prawdziwe dla p_1=p_2.

I co z tego? Implikacja w tę stronę Cię nie interesuje. Chyba chciałeś napisać, że z tego wynika p_1=p_2, ale to jest nieprawda (zapomniałeś o znaku).

JK
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 6 sie 2018, o 18:46 
Użytkownik

Posty: 59
Lokalizacja: Szkocja; Polska
xxDorianxx napisał(a):
Chyba mam.
Jeśli p_1|q_1p_2 oraz NWD(p_1,q_1)=1 to na mocy Zasadniczego Twierdzenia Arytmetyki mamy,że p_2|p_1
Jeśli p_2|q_2p_1 oraz NWD(p_2,q_2)=1 to na mocy Zasadniczego Twierdzenia Arytmetyki mamy,że p_1|p_2.
No i jeśli p_1|p_2 i p_2|p_1 to jest prawdziwe dla p_1=p_2.Tak samy wykazujemy,że q_1=q_2i mamy koniec dowodu.Teraz jest okej?


Chyba powinno być tak: Jeśli p_1|q_1p_2 oraz NWD(p_1,q_1)=1 to na mocy Zasadniczego Twierdzenia Arytmetyki mamy, że p_1|p_2, a nie: p_2|p_1 i analogicznie w drugim stwierdzeniu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sie 2018, o 18:45 
Użytkownik

Posty: 165
Lokalizacja: Wrocław
A może nieco inaczej...
\frac{p}{q} = \frac{p+a}{q+b}
stąd
\frac{p}{q} \cdot b=a
\frac{p}{q} jest liczbą wymierną, stąd

\frac{p}{q} \cdot b jest liczbą naturalną dla b=k \cdot q dla k naturalnego.
stąd
a=k \cdot p
Jedynym zapisem ułamka jest \frac{p+k \cdot p}{q+k \cdot q} - skracalny przez k+1

Coś namieszałem;)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 7 sie 2018, o 20:54 
Użytkownik

Posty: 59
Lokalizacja: Szkocja; Polska
Brombal napisał(a):
Jedynym zapisem ułamka jest \frac{p+k \cdot p}{q+k \cdot q} - skracalny przez k+1

Coś namieszałem;)


Jeżeli k+1=1 lub k+1=-1 to ułamek nie musi być skracalny.

Brombal napisał(a):
\frac{p}{q} jest liczbą wymierną, stąd

\frac{p}{q} \cdot b jest liczbą naturalną dla b=k \cdot q dla k naturalnego.
stąd
a=k \cdot p

Nie jestem pewien tego rozumowania (niech p=3, q=6, b=2 , a=1, wówczas a \neq k \cdot p).

Ale można tak: a \cdot q=b \cdot p, zatem q|b \cdot p, skoro NWD (p, q)=1 to q|b czyli b=k \cdot q (k \in Z).

Czyli a \cdot q= k \cdot q \cdot p \Leftrightarrow a= k  \cdot  p.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sie 2018, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 165
Lokalizacja: Wrocław
_Michal napisał(a):
...
Nie jestem pewien tego rozumowania (niech p=3, q=6, b=2 , a=1, wówczas a \neq k \cdot p).


p i q nie mogą mieć wspólnych podzielników 3 i 6 mają
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Niedziesiątkowy system zapisu liczb  Anonymous  1
 Wyznacz liczby dla których wyrażenie jest podzielne przez  Anonymous  6
 Podaj przykład liczby  kordak  7
 Znajdź n dla których liczby a, b są względnie pierwsze  Anonymous  3
 Ciekawe Liczby  Anonymous  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl