szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sie 2018, o 10:34 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Gdzieś
W czworokącie wypukłym ABCD punkt M jest środkiem przekątnej AC. Wykazać, że jeżeli \angle BCD=\angle BMA=\angle AMD, to na czworokącie ABCD można opisać okrąg.
Proszę o wskazówkę.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sie 2018, o 12:40 
Użytkownik

Posty: 3210
Rysunek.

Na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt i z założeń zgodnych z treścią zadania wynika podobieństwo trójkątów:

\Delta ABM \sim \Delta ADM.

Zatem

\frac{|AM|}{|BM|}= \frac{|DM|}{|AM|},

ale

|AM|=|MC|,

więc z poprzedniej równości i równości kątów:

|\angle BMC | = |\angle  CMD|

mamy podobieństwo trójkątów:

\Delta BMC \sim \Delta CMD (cecha kąt-bok-kąt).

Stąd:

|\angle BCD| = 180^{o} - |\angle BMC| = 180^{o} - |\angle BAD|

czyli na czworokącie ABCD można opisać okrąg.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2018, o 07:56 
Użytkownik

Posty: 454
Lokalizacja: somewhere
janusz47, skąd wynika podobieństwo trójkątów ABM i ADM? Przecież wiemy tylko, że \angle AMD=\angle BMA, a każda inna równość kątów w tych trójkątach winna być ewentualnie uzasadniona.
Cytuj:
mamy podobieństwo trójkątów:

\Delta BMC \sim \Delta CMD (cecha kąt-bok-kąt) .

Nie słyszałem o takiej cesze podobieństwa trójkątów. Jeżeli mamy dwie pary równych kątów, to podobieństwo wynika nautralnie z cechy kąt-kąt.

Zaproponuję swój pomysł. Niech O oznacza środek okręgu opisanego na trójkącie BCD oraz przyjmijmy na razie, że \angle BCD<90^\circ. Wówczas mamy
\angle BOD=2 \angle BCD=\angle AMD + \angle BMA=\angle BMD < 180^\circ. Stąd, punkty M i O leżą po tej samej stronie prostej BD, co punkt C i w konsekwencji punkty D, B, O, M leżą na jednym okręgu. Stąd zaś \angle BMO=\angle BDO=\angle DBO=90^\circ -  \frac{1}{2}\angle BOD=90^\circ - \angle BMA, a stąd 90^\circ=\angle AMB+\angle BMO=\angle AMO. Skoro więc M jest środkiem odcinka AC, to prosta OM jest symetralną owego odcinka. To zaś znaczy, że A również leży na okręgu opisanym na trójkącie BCD (o środku O), czyli teza.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2018, o 13:22 
Użytkownik

Posty: 3210
Przykro mi że nie znasz II cechy podobieństwa trójkątów. Proszę wykonać rysunek i jeszcze raz prześledzić rozwiązanie zadania 5 z z I dnia przed II etapem LX OM.

Twoje rozwiązanie jest błędne, bo zakładasz z góry, że istnieje środek okręgu opisanego na czworokącie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2018, o 14:36 
Użytkownik

Posty: 454
Lokalizacja: somewhere
Z tego co mi wiadomo, to II cecha podobieństwa trójkątów to bok-kąt-bok, a nie kąt-bok-kąt (takowej nawet nie ma, jeśli chodzi o podobieństwo). W swoim rozwiązaniu absolutnie nie zakładam istnienia środka okręgu opisanego na czworokącie; wykorzystuję jedynie dosyć mocno elementarny fakt, że na każdym trójkącie można opisać okrąg. Następnie dowodzę, że ten okrąg istotnie jest okręgiem opisanym na czworokącie.

Proszę podać źródło, o którym jest mowa- nie znalazłem bowiem niczego powiązanego z tematem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2018, o 15:09 
Użytkownik

Posty: 3210
Źródło:
Materiały z 1 dnia przygotowawczego do LX OM.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2018, o 22:28 
Użytkownik

Posty: 5804
Lokalizacja: Staszów
Janusz47 pisze:
Na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt i z założeń zgodnych z treścią zadania wynika podobieństwo trójkątów:
\Delta ABM \sim \Delta ADM.


Jeżeli jedynymi informacjami są :
figurą jest czworobok wypukły ABCD oraz :
równość kątów \angle AMB  = \angle AMD = \angle BCD
i ta, że punkt M połowi przekątną AC.
To skąd wnioski że boki :
|AB|= |AD|  \ i \   |BM|=MD| ?
Te relacje trzeba wykazać.


Informacja zawata w traści zadania o położeniu wierzchołków równych sobie kątów \angle AMB  \ , \  \angle AMD \ i \  \angle BCD
oraz z tego, że |\angle AMB +  \angle AMD| = 2| \angle BCD nasuwa wniosek, że kąty \angle BMD i \angle BCD są odpowiednio kątami środkowym i wpisanym, opartymi na tym samym łuku okręgu, zatem czworokąt ten jest wpisanym w ten okrąg o promieniu mającym miarę |r|= |AM| =  \frac{|AC|}{2}
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 9 sie 2018, o 11:38 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Szkocja; Polska
kruszewski napisał(a):
Informacja zawata w traści zadania o położeniu wierzchołków równych sobie kątów \angle AMB  \ , \  \angle AMD \ i \  \angle BCD
oraz z tego, że |\angle AMB +  \angle AMD| = 2| \angle BCD nasuwa wniosek, że kąty \angle BMD i \angle BCD są odpowiednio kątami środkowym i wpisanym, opartymi na tym samym łuku okręgu, zatem czworokąt ten jest wpisanym w ten okrąg o promieniu mającym miarę |r|= |AM| =  \frac{|AC|}{2}
Ukryta treść:    

To działa tylko gdy |DM|=|BM|, ale tak wcale nie musi być. M wcale nie musi być środkiem okręgu opisanego: https://www.geogebra.org/classic/bdzrj8rj
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 11:52 
Użytkownik

Posty: 454
Lokalizacja: somewhere
kruszewski napisał(a):
Janusz47 pisze:
Na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt i z założeń zgodnych z treścią zadania wynika podobieństwo trójkątów:
\Delta ABM \sim \Delta ADM.


Jeżeli jedynymi informacjami są :
figurą jest czworobok wypukły ABCD oraz :
równość kątów \angle AMB  = \angle AMD = \angle BCD
i ta, że punkt M połowi przekątną AC.
To skąd wnioski że boki :
|AB|= |AD|  \ i \   |BM|=MD| ?
Te relacje trzeba wykazać.


Mowa tu akurat o podobieństwie trójkątów, do którego relacje równości odpowiednich boków są zbędne. Nie zmienia to faktu, że wniosek użytkownika janusz47 jest bezpodstawny- nie pokazuje bowiem, że założenia twierdzenia, które zostaje przywołane (cecha kkk podobieństwa trójkątów) są spełnione. Na gruncie założeń zadania nie jest oczywistym, że odpowiednie relacje równości kątów zachodzą; wiemy tylko o jednej z nich, która nie jest dostateczna.
Nie jest też prawdą, że punkt M jest środkiem okręgu opisanego na czworokącie ABCD (w ogólności).

Aby przekonać się, że w ogólności konfiguracja dana w zadaniu nie musi być tak przyjaźnie symetryczna rozważmy taką konstrukcję:
Weźmy okrąg \Omega o środku O, oraz punkty B i D leżące na tym okręgu w ten sposób, że kąt wypukły BOD ma miarę mniejszą niż 180^\circ, oznaczmy go \angle BOD=2 \alpha. Na trójkącie BOD opisujemy okrąg \omega_1 (oczywiście możemy). Obieramy teraz na krótszym łuku BD okręgu \Omega punkt A w ten sposób, by A nie był środkiem owego łuku (czyli tak, by punkty O, A i środek okręgu \omega_1 nie były współliniowe); bez straty ogólnoście niech A leży bliżej punktu D. Rozważmy wreszcie okrąg \omega_2 o średnicy AO. Łatwo sprawdzić, że okręgi \omega_1 i \omega_2 przecinają się (trzeba wykorzystać fakt, że A nie jest środkiem krótszego łuku BD okręgu \Omega). Oznaczmy przez M ich drugi, poza punktem O, punkt przecięcia. Skoro M leży na \omega_2, to \angle OMA=90^\circ, zaś skoro M leży na \omega_1, to \angle BMD=\angle BOD=2\alpha, a ponadto \angle BMO=\angle BDO=90^\circ - \alpha, a stąd \angle BMA=\alpha.
Wystarczy teraz oznaczyć punkt przecięcia prostej AM z okręgiem \Omega przez C, aby przekonać się, że otrzymujemy konfigurację opisaną w treści zadania. Naturalnie środek okręgu opisanego na czworokącie ABCD nie jest punktem M (który, jak łatwo sprawdzić jest środkiem odcinka AC), a zatem rozwiązanie opierające się na tym założeniu jest błędne..

-- 9 sie 2018, o 12:03 --

Kolega _Michal, również pokazał wyżej, że mogą mieć miejsce inne konfiguracje; możemy za pomocą opisanej przeze mnie konstrukcji sami przekonać się, że taka sytuacja na płaszczyźnie nie musi być rzadkością.. Rozumowanie, występujące w rozwiązaniu zadania, powinno objąć wszystkie przypadki, w szczególności nie może zawierać myślenia życzeniowego.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 9 sie 2018, o 12:13 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Szkocja; Polska
Proponuję tak:
https://www.geogebra.org/classic/bdzrj8rj
Niech \angle BCA= a i \angle ACD= b. W takim razie \angle BCD=\angle BMA=\angle AMD=a+b.

To pociąga za sobą: \angle BMC = 180^\circ-a-b oraz \angle DMC = 180^\circ-a-b.

Zatem \angle MDC= 180^\circ - (180^\circ-a-b)+ b = a i analogicznie\angle MBC = b.

Teraz widać, z cechy KK, że MCD jest podobny do MBC.

Czyli \frac {MD}{MC}=\frac {MC}{MB}. Ale przecież MC=AM. Toteż ta proporcja może być zapisana tak:

\frac {MD}{AM}=\frac {AM}{MB}.

Ta proporcja pociąga za sobą, w połączeniu z równością \angle BMA=\angle AMD, podobieństwo (BKB) MDA i MAB. Czyli \angle MAB=\angle MDA=c, oraz \angle MBA=\angle MAD=d. Z trójkąta AMB wynika, że c+d+a+b=180^\circ.

\angle DAB=c+d=180^\circ-a-b=180^\circ- \angle DCB

QED
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 12:19 
Użytkownik

Posty: 5804
Lokalizacja: Staszów
W zadaniu napiasano:
"Wykazać, że jeżeli\angle BCD=\angle BMA=\angle AMD, to na czworokącie (wypukłym W.Kr.) ABCD można opisać okrąg."

Ukryta treść:    


Tak i pokazano.
Proszę zauważyć, że kwadrat też spełnia warunki zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 12:24 
Użytkownik

Posty: 454
Lokalizacja: somewhere
_Michal, fajne rozwiązanie , wszystko jasno wyprowadzone ;)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 9 sie 2018, o 12:34 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Szkocja; Polska
Dziękuję, karolex123.

kruszewski napisał(a):
W zadaniu napiasano:
"Wykazać, że jeżeli\angle BCD=\angle BMA=\angle AMD, to na czworokącie (wypukłym W.Kr.) ABCD można opisać okrąg."

Ukryta treść:    


Tak i pokazano.
Proszę zauważyć, że kwadrat też spełnia warunki zadania.


Tzn zinterpretowałem to "można opisać okrąg" jako "zawsze ten czworokąt jest cykliczny", ale jeśli należało to zinterpretować "istnieje taki czworokąt (spełniający warunki zadania), że można opisać okrąg" to istotnie ma Pan rację i przepraszam.

Czy mógłby się ktoś (lepszy ode mnie z logiki) wypowiedzieć jak należy interpretować to zadanie?

To jest jakby mógł ktoś wskazać która interpretacja jest poprawna:

1. Każdy czworokąt spełniający warunki zadania jest cykliczny. (Uważam, że ta jest poprawna).

2. Istnieje czworokąt cykliczny spełniający warunki zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 13:17 
Użytkownik

Posty: 5804
Lokalizacja: Staszów
Panie Michale, za co te przeprosiny?
Pana rozwiązanie jest ogólne.
Pozdrawia serdecznie,
W.Kr.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 16:01 
Administrator

Posty: 22649
Lokalizacja: Wrocław
_Michal napisał(a):
1. Każdy czworokąt spełniający warunki zadania jest cykliczny. (Uważam, że ta jest poprawna).

Ja też tak uważam.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Okrąg wpisany w romb.  manko_wlkp  1
 czworokąt wpisany w okrąg - zadanie 20  Sylwek777  2
 trapez wpisany w okrąg - zadanie 24  monteiro123  1
 Okrąg i prosta ; okrąg - 2 zadania  kodyr  0
 Trójkąt równoramienny wpisany w okrąg - zadanie 7  edward1337  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl