szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2018, o 07:43 
Użytkownik

Posty: 5608
Lokalizacja: Kraków
Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną m taką, że \frac{m}{2} jest kwadratem, \frac{m}{3}sześcianem, zaś \frac{m}{5} piątą potęgą liczb całkowitych.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2018, o 08:12 
Użytkownik

Posty: 456
Lokalizacja: somewhere
Niech szukaną liczbą będzie m=2^p  \cdot 3^q \cdot 5^r, gdzie p,q,r \ge 1. Z jednoznaczności rozkładu oraz jego łatwych konsekwencji wynika, że skoro \frac{m}{2} jest kwadratem liczby naturalnej, to q,r muszą być parzyste. Analogicznie, p,r muszą być podzielne przez 3 oraz p,q muszą być podzielne przez 5. Najmniejsze liczby p, q , r spełniające te warunki to p=5 \cdot 3=15, q=2 \cdot 5=10 i r=2 \cdot 3=6. Łatwo sprawdzamy, że liczba m=2^{15}  \cdot 3^{10} \cdot 5^{6} spełnia oczekiwane założenia
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ułamki i potęgi  Fantazjana  2
 Podzielność a do danej potęgi przez liczbę pierwszą p.  wojciech0404  2
 Kongruencja potęgi  ajlofmath  2
 Liczba złożona, suma, potęgi [dowieść]  patry93  2
 dwie ostatnie cyfry liczby, z bardzo wysokiej potęgi  lightinside  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl