szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2018, o 14:45 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Lublin
\sin 2x + \cos x = 1 \ , \ x\in \langle 0,2\pi)

Jak wyznaczyć niezerowe rozwiązanie na tym przedziale?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2018, o 15:39 
Użytkownik

Posty: 12530
Zauważ, że musi być \cos x\ge 0, bo inaczej masz równoważnie:
\cos x=1-\sin(2x)
i lewa strona jest ujemna a prawa nieujemna. Zatem ograniczamy się do
x\in\left[0, \frac \pi 2\right]\cup\left[ \frac 3 2 \pi, 2\pi\right).
Wówczas możemy wstawić \cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}, niech t=\sin x, wtedy t\in [-1,1], a równanie przyjmuje postać
2t\sqrt{1-t^2}+\sqrt{1-t^2}=1
Możemy to podnieść do kwadratu dokładnie wtedy, gdy lewa strona jest nieujemna, czyli gdy t\ge -\frac 1 2 (a stąd wynika dodatkowe ograniczenie x\in \left[ 0, \frac \pi 2\right] \cup \left[ \frac{11}{6}\pi, 2\pi\right)).
Podnosimy do kwadratu i mamy
(1-t^2)(1+2t)^2=1\\4t^2+4t-4t^4-4t^3-t^2=0\\ -t\left(4t^3+4t^2-3t-4 \right)=0.
Wartość 4t^3+4t^2-3t-4 jest ujemna dla t=-\frac 1 2, a dodatnia (mianowicie równa 1) dla t=1, zatem z tw. Darboux mamy w przedziale
\left[ -\frac 1 2, 1\right] co najmniej jedno rozwiązanie równania
4t^3+4t^2-3t-4=0.
Niestety, chyba potrzebne są wzory Cardana (których nie umiem), żeby je znaleźć, ponieważ pierwiastki wymierne wielomianu 4t^3+4t^2-3t-4 nie istnieją.
Tutaj masz wzory Cardana:
https://proofwiki.org/wiki/Cardano%27s_Formula

Wtedy jak dostaniesz to rozwiązanie t_0, to jego arcus sinus będzie szukanym rozwiązaniem niezerowym.

Swoją drogą, czy pewno zadanie zostało dobrze przepisane? Wolfram mi tego nie liczy, podaje tylko przybliżenie numeryczne…
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2018, o 21:25 
Użytkownik

Posty: 22680
Lokalizacja: piaski
41421356 napisał(a):
\sin 2x + \cos x = 1 \ , \ x\in \langle 0,2\pi)

Jak wyznaczyć niezerowe rozwiązanie na tym przedziale?

To równanie z wymagań maturalnych ?
Jeśli tak to dwójka miała być kwadratem sinusa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 14:25 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Lublin
Dokładnie tak, dziękuję za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 14:36 
Użytkownik

Posty: 395
Lokalizacja: Kraków
41421356 napisał(a):
Dokładnie tak, dziękuję za pomoc.


co to znaczy: "dokładnie tak" ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 15:11 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Lublin
Jest to moja odpowiedź na powyższe pytanie. Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 15:26 
Użytkownik

Posty: 395
Lokalizacja: Kraków
\ \sin ^2x + \ \cos x = 1  \Leftrightarrow \ 1 - \ \cos ^2x +\cos x = 1 i po sprawie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2018, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 22680
Lokalizacja: piaski
Dla jasności - błąd jest (był - bo może już go poprawili) w samych wymaganiach, autor wątka go nie popełnił.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie trygonometryczne  Anonymous  6
 Równanie trygonometryczne - zadanie 2  Anonymous  1
 Równanie trygonometryczne - zadanie 3  waski  1
 rownanie trygonometryczne  benny123  3
 Równanie trygonometryczne - zadanie 4  kuch2r  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl