szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sie 2018, o 13:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 17
Lokalizacja: Wrocław
Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n prawdziwa jest równość:
\left( 1- \frac{4}{1} \right)\left( 1- \frac{4}{9} \right)...\left( 1- \frac{4}{\left( 2n-1\right) ^{2}  } \right) =  \frac{1 + 2n}{1 - 2n}
Siedzę nad takim dowodem i dochodzę do takich obliczeń, że oczywistym jest, że nie zauważam jakiejś sztuczki, która wszystko skróci. Chętnie poznam rozwiązanie
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sie 2018, o 13:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1302
Lokalizacja: hrubielowo
Dla n=1 jest ok. Więc zakładamy że dla jakichś n też jest ok i piszemy co się dzieje dla n+1. Mamy więc

\left( 1- \frac{4}{1} \right)\left( 1- \frac{4}{9} \right)...\left( 1- \frac{4}{\left( 2n-1\right) ^{2} } \right) \left( 1- \frac{4}{\left( 2n+1\right) ^{2} } \right)=...

Z założenia indukcyjnego wiemy jednak że:

=\frac{1 + 2n}{1 - 2n} \left( 1- \frac{4}{\left( 2n+1\right) ^{2} } \right)= \frac{4n^2+4n-3}{(1-2n)(1+2n)}= \frac{2n+3}{-2n-1}= \frac{1+2(n+1)}{1-2(n+1)}

co kończy dowód jako że prawa strona jest tezą dla n+1. Więc istotnie prawdziwa jest implikacja T(n) \Rightarrow T(n+1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sie 2018, o 13:58 
Użytkownik

Posty: 12522
Można bez indukcji:
\prod_{k=1}^{n} \left( 1-\frac{4}{(2k-1)^2}\right) =\\= \prod_{k=1}^{n}\left( 1-\frac{2}{2k-1}\right)\left(1+\frac{2}{2k-1} \right)=\\= \prod_{k=1}^{n}\frac{2k-3}{2k-1}\cdot \frac{2k+1}{2k-1}=\\=-1\cdot \frac{2n+1}{2n-1}=\\=\frac{2n+1}{1-2n},
ponieważ wszystkie czynniki prócz pierwszego i ostatniego się skracają, patrz:
\frac{2k-5}{2k-3}\cdot \frac{2k-1}{2k-3}\cdot \frac{2k-3}{2k-1}\cdot \frac{2k+1}{2k-1}\cdot \frac{2k-1}{2k+1}\cdot \frac{2k+3}{2k+1}=\ldots
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja matematyczna - równość  matematix  2
 udowodnij indukcyjnie (suma kątów)  johanneskate  1
 udowodnić indukcyjnie nierówność  MaxCorleone  16
 Dowodzenie, że prawdziwa jest równość  jankomuzykanto  7
 Równość do udowodnienia - zadanie 2  Wojtolino  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl