szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sie 2018, o 21:22 
Użytkownik

Posty: 1753
Lokalizacja: Kraków
Zastosować twierdzenie Stokesa do całki krzywoliniowej:
\int_{dS}^{}xdy+zdz
i powierzchni S=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \RR^3:x+2 \le x^2+y^2=z \le x+12 \right\}.
Obliczyć obie strony wzoru i porównać wyniki.

Jak rozumiem to zadanie można zrobić parametryzacją lub z tw. Stokesa?
Ok to w takim razie jak sparametryzować zbiór S?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sie 2018, o 14:12 
Użytkownik

Posty: 3210
Nie można mylić Twierdzenia Stokesa z parametryzacją rozmaitości.

Twierdzenie Stokesa służy nam do obliczania wartości całek po rozmaitościach.

Parametryzacja rozmaitości w odpowiednio dobranych współrzędnych na przykład biegunowych - do ich łatwiejszego obliczania.

Mamy sprawdzić równość wynikającą z Twierdzenia Stokesa:

\int_{( \partial S +)} xdy +zdz = \iint_{(S +)} d(xdy + zdz) (1)

gdzie:

powierzchnia (S) jest paraboloidą kołową ograniczoną dwiema płaszczyznami.

Rzutujemy tą powierzchnię na płaszczyznę Oxy, otrzymując pierścień kołowy zawarty między kołami o równaniach:

\left(x -\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 \geq \left(\frac{3}{2} \right)^2,

\left(x -\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 \leq \left(\frac{7}{2} \right)^2.

(proszę sprawdzić).

Parametryzujemy pierścień kołowy współrzędnymi biegunowymi.

Sprawdzamy równość wzoru Stokesa (1), obliczając po prawej stronie tego wzoru różniczkę zewnętrzną d\omega formy różniczkowej

\omega = xdy + zdz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sie 2018, o 21:46 
Użytkownik

Posty: 1753
Lokalizacja: Kraków
A jak się liczy różniczkę zewnętrzną d(xdy + zdz)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sie 2018, o 22:21 
Użytkownik

Posty: 3210
d(\omega) = d(xdy + zdz) = d(xdy) + d(zdz) =1 dx  \wedge dy +1 dz \wedge dz= dx \wedge dy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sie 2018, o 22:37 
Użytkownik

Posty: 1753
Lokalizacja: Kraków
Skąd się wzięły te jedynki?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sie 2018, o 09:17 
Użytkownik

Posty: 3210
Z obliczenia pochodnych odpowiednio względem zmiennej x i z.

Przypomnij sobie pierwszą różniczkę funkcji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sie 2018, o 13:29 
Użytkownik

Posty: 1753
Lokalizacja: Kraków
Dlaczego akurat względem x i z, a nie y na przykład.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sie 2018, o 14:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2705
Lokalizacja: Radom
Z definicji d(x \wedge dz) = dx \wedge dz, bo (z definicji)
d(f(x,y,z) \wedge dz = df \wedge dz
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 twierdzenie greena - zadanie 23  pikra  14
 całka krzywoliniowa - twierdzenie Greena  Kanodelo  0
 całka, twierdzenie Greena, proste  waliant  8
 twierdzenie Greena - zadanie 11  eutrepe  11
 Twierdzenie Gaussa. Podział na obszary normalne.  tadu983  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl