szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2018, o 17:19 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Polska
Podaj rozkład zmiennej Z opisującej liczbę dodatnich miejsc zerowych funkcji: f(x)=(x-p) ^{2}+q, gdzie p \in (-1,2), q \in (-2,1).

Jak zabrać się za takie zadanie? Proszę o pomoc

-- 22 sie 2018, o 20:42 --

Może ktoś jednak ma pomysł, jak zacząć? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2018, o 16:47 
Moderator

Posty: 3029
Lokalizacja: Starachowice
f(x)=\left( x-p\right)^2+q \ \ \to \ \ f(x)=x^2-2px+p^2+q \\ a=1,  \ \ b=-2p, \ \ c=p^2+q \\
\Delta=b^2-4ac=\left( -2p\right) ^2-4\cdot1\cdot\left(p^2+q \right) = 4p^2-4p^2-4q=-4q \\ x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{2p}{1}=2p\\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{p^2+q}{1}=p^2+q

Dwa dodatnie miejsca zerowe będą wtedy, gdy \begin{cases} \Delta>0 \\ x_1+x_2>0 \\ x_1\cdot x_2>0 \end{cases} \ \ \to \ \ \begin{cases} -4q>0 \ |:(-4) \\ 2p>0 \ |:2 \\ p^2+q>0 \end{cases}  \ \ \to \ \  \begin{cases} q<0 \\ p>0 \\ p^2+q>0 \end{cases}

Jedno dodatnie miejsce zerowe: \begin{cases} \Delta>0 \\ x_1\cdot x_2<0 \end{cases} \ \to \  \begin{cases} q<0 \\ p^2+q<0 \end{cases}

Jedno dodatnie miejsce zerowe będzie też wtedy, gdy \begin{cases} \Delta=0 \\ x_0=\frac{-b}{2a}>0 \end{cases}  \ \to \  \begin{cases} -4q=0 \\ \frac{2p}{2}>0 \end{cases} \ \to \  \begin{cases} q=0 \\ p>0 \end{cases}

Brak dodatnich miejsc zerowych - w pozostałych przypadkach
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sie 2018, o 12:05 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Polska
Otrzymujemy z tego następująca gęstość :
f(z)=\begin{cases} 0, p \in (-1,2),q \in (0,1)\\1,p \in (0,2), q \in \left\{ 0\right\}\\2,p \in (0,2),q \in (-2,0) \end{cases}

Poprawnie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sie 2018, o 13:32 
Moderator

Posty: 3029
Lokalizacja: Starachowice
Nie za bardzo, bo np. dla p=0.5, \ q=-1.5 mamy nie dwa, tylko jedno dodatnie miejsce zerowe.

Proponowałbym Ci narysować układ współrzędnych, nazwać oś poziomą jako p i pionową jako q. Ze względu na p\in (-1,2) rysujesz w tym układzie proste (pionowe) o równaniach p=-1, \ \ p=2, a ze względu na q\in (-2,1) proste (poziome) o równaniach q=-2, \ \ q=1. Masz prostokąt o wierzchołkach (-1,-2), \ (-1,1), \ (2,1), \ (2,-2).

W tym prostokącie zaznaczymy najpierw obszar, w którym funkcja f ma dwa dodatnie miejsca zerowe, czyli warunki \begin{cases} q<0 \\ p>0 \\ p^2+q>0 \end{cases}
q<0 to obszar poniżej osi p
p>0 to obszar na prawo od osi q
p^2+q>0 to inaczej q>-p^2, to obszar powyżej paraboli o równaniu -p^2. Trochę łatwiej to zrozumieć gdy q>-p^2 potraktujemy jako y>-x^2 czyli obszar powyżej paraboli y=-x^2.
Potem szukamy jeszcze punktu wspólnego paraboli q=-p^2 z prostą q=-2, czyli:
-2=-p^2 \ \to \ p^2=2\ \to \ p=\sqrt2.
Opisujemy ten obszar jako normalny względem osi p (osi x) albo normalny względem osi q (osi y) - druga opcja trochę lepsza bo nie trzeba dzielić obszarów.
Jeśli się zdecydujemy na obszar normalny względem osi p to dostaniemy \begin{cases} 0<p<\sqrt2 \\ -p^2<q<1 \end{cases} \  \vee\  \begin{cases} \sqrt2<p<2 \\ -2<q<1 \end{cases}
a jeśli na drugą opcję, to \begin{cases} -2<q<0 \\ -\sqrt q<p<2 \end{cases}

Podobne rozumowanie (rysowanie prostokąta, zaznaczanie w nim obszarów) trzeba przeprowadzić dla jednego miejsca zerowego i dla braku miejsc zerowych.

Na koniec zapisać coś w stylu: f(z)= \begin{cases} 2 \ gdy \ \begin{cases} -2<q<0 \\ -\sqrt q<p<2 \end{cases} \\ 1 \ gdy \ ... \\ 0 \ gdy \ ... \end{cases}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rozkład zm losowej  ewelkaaa  0
 ucięty rozkład Poissona  horrorschau  11
 Statystyka dostateczna, przesunięty rozkład wykładniczy  jakas_nazwa  1
 Rozkład wykładniczy - zadanie 17  traxx  1
 Rozkład maksimum  tomaszstaroszczyk  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl