Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Statystyka

Rozkład zmiennej Z opisującej liczbę miejsc zerowych

Strona 1 z 1

[ Posty: 4 ]

Autor

Wiadomość

Mr Marcin Offline

Tytuł: Rozkład zmiennej Z opisującej liczbę miejsc zerowych

Napisane: 21 sie 2018, o 17:19

Posty: 38
Lokalizacja: Polska

Podaj rozkład zmiennej Z opisującej liczbę dodatnich miejsc zerowych funkcji: $f(x)=(x-p) ^{2}+q$ , gdzie $p \in (-1,2)$ , $q \in (-2,1)$ .

Jak zabrać się za takie zadanie? Proszę o pomoc

-- 22 sie 2018, o 20:42 --

Może ktoś jednak ma pomysł, jak zacząć?

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019

Góra

loitzl9006 Offline

Tytuł: Re: Rozkład zmiennej Z opisującej liczbę miejsc zerowych

Napisane: 25 sie 2018, o 16:47

Posty: 3022
Lokalizacja: Starachowice

$f(x)=\left( x-p\right)^2+q \ \ \to \ \ f(x)=x^2-2px+p^2+q \\ a=1, \ \ b=-2p, \ \ c=p^2+q \\ \Delta=b^2-4ac=\left( -2p\right) ^2-4\cdot1\cdot\left(p^2+q \right) = 4p^2-4p^2-4q=-4q \\ x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{2p}{1}=2p\\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{p^2+q}{1}=p^2+q$

Dwa dodatnie miejsca zerowe będą wtedy, gdy $\begin{cases} \Delta>0 \\ x_1+x_2>0 \\ x_1\cdot x_2>0 \end{cases} \ \ \to \ \ \begin{cases} -4q>0 \ |:(-4) \\ 2p>0 \ |:2 \\ p^2+q>0 \end{cases} \ \ \to \ \ \begin{cases} q<0 \\ p>0 \\ p^2+q>0 \end{cases}$

Jedno dodatnie miejsce zerowe: $\begin{cases} \Delta>0 \\ x_1\cdot x_2<0 \end{cases} \ \to \ \begin{cases} q<0 \\ p^2+q<0 \end{cases}$

Jedno dodatnie miejsce zerowe będzie też wtedy, gdy $\begin{cases} \Delta=0 \\ x_0=\frac{-b}{2a}>0 \end{cases} \ \to \ \begin{cases} -4q=0 \\ \frac{2p}{2}>0 \end{cases} \ \to \ \begin{cases} q=0 \\ p>0 \end{cases}$

Brak dodatnich miejsc zerowych - w pozostałych przypadkach

Góra

Mr Marcin Offline

Tytuł: Rozkład zmiennej Z opisującej liczbę miejsc zerowych

Napisane: 26 sie 2018, o 12:05

Posty: 38
Lokalizacja: Polska

Otrzymujemy z tego następująca gęstość :
$f(z)=\begin{cases} 0, p \in (-1,2),q \in (0,1)\\1,p \in (0,2), q \in \left\{ 0\right\}\\2,p \in (0,2),q \in (-2,0) \end{cases}$

Poprawnie?

Góra

loitzl9006 Offline

Tytuł: Re: Rozkład zmiennej Z opisującej liczbę miejsc zerowych

Napisane: 26 sie 2018, o 13:32

Posty: 3022
Lokalizacja: Starachowice

Nie za bardzo, bo np. dla $p=0.5, \ q=-1.5$ mamy nie dwa, tylko jedno dodatnie miejsce zerowe.

Proponowałbym Ci narysować układ współrzędnych, nazwać oś poziomą jako $p$ i pionową jako $q$ . Ze względu na $p\in (-1,2)$ rysujesz w tym układzie proste (pionowe) o równaniach $p=-1, \ \ p=2$ , a ze względu na $q\in (-2,1)$ proste (poziome) o równaniach $q=-2, \ \ q=1$ . Masz prostokąt o wierzchołkach $(-1,-2), \ (-1,1), \ (2,1), \ (2,-2)$ .

W tym prostokącie zaznaczymy najpierw obszar, w którym funkcja $f$ ma dwa dodatnie miejsca zerowe, czyli warunki $\begin{cases} q<0 \\ p>0 \\ p^2+q>0 \end{cases}$
$q<0$ to obszar poniżej osi $p$
$p>0$ to obszar na prawo od osi $q$
$p^2+q>0$ to inaczej $q>-p^2$ , to obszar powyżej paraboli o równaniu $-p^2$ . Trochę łatwiej to zrozumieć gdy $q>-p^2$ potraktujemy jako $y>-x^2$ czyli obszar powyżej paraboli $y=-x^2$ .
Potem szukamy jeszcze punktu wspólnego paraboli $q=-p^2$ z prostą $q=-2$ , czyli:
$-2=-p^2 \ \to \ p^2=2\ \to \ p=\sqrt2$ .
Opisujemy ten obszar jako normalny względem osi $p$ (osi $x$ ) albo normalny względem osi $q$ (osi $y$ ) - druga opcja trochę lepsza bo nie trzeba dzielić obszarów.
Jeśli się zdecydujemy na obszar normalny względem osi $p$ to dostaniemy $\begin{cases} 0<p<\sqrt2 \\ -p^2<q<1 \end{cases} \ \vee\ \begin{cases} \sqrt2<p<2 \\ -2<q<1 \end{cases}$
a jeśli na drugą opcję, to $\begin{cases} -2<q<0 \\ -\sqrt q<p<2 \end{cases}$

Podobne rozumowanie (rysowanie prostokąta, zaznaczanie w nim obszarów) trzeba przeprowadzić dla jednego miejsca zerowego i dla braku miejsc zerowych.

Na koniec zapisać coś w stylu: $f(z)= \begin{cases} 2 \ gdy \ \begin{cases} -2<q<0 \\ -\sqrt q<p<2 \end{cases} \\ 1 \ gdy \ ... \\ 0 \ gdy \ ... \end{cases}$

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 4 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Statystyka

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Jak oszacować liczbę ludności mówiącej w pewnym język	lehoslav	6
Rozkład geometryczny, wartość oczekiwana, wariancja	aniabo	3
Rozkład normalny, Regresja liniowa, Estymacja przedziałowa - zadanie 2	g96natalia	0
Metoda najmniejszych kwadratów - rozkład Gaussa	cqt	1
gęstość rozkladu zmiennej losowej	licenighta20	3

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]