Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Analiza » Własności i granice ciągów

Definicja granicy ciągu - zadanie 10

Strona 1 z 1

[ Posty: 10 ]

Autor

Wiadomość

alfacentaur Offline

Tytuł: Definicja granicy ciągu

Napisane: 27 sie 2018, o 12:22

Posty: 12
Lokalizacja: krakow

Chciałbym się zapytać czy można definiować granicę ciągu w ten sposób.

$\lim_{ n\to \infty } =g$

$\forall_{n\in \NN} \left| a_{n}-g \right| > \left| a_{n+1}-g \right|$

Góra

bartek118 Offline

Tytuł: Definicja granicy ciągu

Napisane: 27 sie 2018, o 12:25

Posty: 5872
Lokalizacja: Toruń

Nie. Weź ciąg stały i sprawdź, że nie spełnia Twojej definicji.

Góra

alfacentaur Offline

Tytuł: Definicja granicy ciągu

Napisane: 27 sie 2018, o 12:29

Posty: 12
Lokalizacja: krakow

Mogę zamienić $>$ na $\ge$

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Definicja granicy ciągu

Napisane: 27 sie 2018, o 12:40

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław

Wtedy również nie zadziała, ciąg
$a_n= \begin{cases} \frac{1}{2^n} \text{ gdy } 2\nmid n \\ \frac 1 n \text{ gdy } 2|n \end{cases}$
nie spełnia tego warunku, a jest zbieżny do zera.

Góra

alfacentaur Offline

Tytuł: Re: Definicja granicy ciągu

Napisane: 27 sie 2018, o 13:05

Posty: 12
Lokalizacja: krakow

Masz rację, to nie jest równoważne definicji granicy.
Jeszcze pytanie czy jeżeli mój warunek jest spełniony, to ciąg jest zbieżny do $g$ .

(Implikacja nie równoważność)

Góra

Kaf

Tytuł: Re: Definicja granicy ciągu

Napisane: 27 sie 2018, o 13:06

Posty: 816
Lokalizacja: Zabrze

Nie. Weź $a_n:=g+1+\frac{1}{n}$ .

Góra

alfacentaur Offline

Tytuł: Re: Definicja granicy ciągu

Napisane: 27 sie 2018, o 13:31

Posty: 12
Lokalizacja: krakow

Mógłbyś wytłumaczyć?

Góra

Kaf

Tytuł: Re: Definicja granicy ciągu

Napisane: 27 sie 2018, o 13:37

Posty: 816
Lokalizacja: Zabrze

Ciąg ten spełnia warunek
$\forall {n\in\NN} \ \left| a_n-g\right| > \left| a_{n+1}-g\right|$
(prosty rachunek), ale nie jest zbieżny do $g$ , bo jest zbieżny do $g+1$ , a granica ciągu (jeśli istnieje) jest jedyna.

Góra

alfacentaur Offline

Tytuł: Re: Definicja granicy ciągu

Napisane: 29 sie 2018, o 11:48

Posty: 12
Lokalizacja: krakow

Tylko czy powyższy ciąg w ogóle ma prawo istnieć? $g$ oznacza granicę w nieskończoności, ale w tym wypadku granicą jest $g+1$ , więc z samego zapisu ciągu wynika $g=g+1$

Góra

Kaf

Tytuł: Re: Definicja granicy ciągu

Napisane: 29 sie 2018, o 12:21

Posty: 816
Lokalizacja: Zabrze

Co?

Spytałeś, czy jeżeli dla ustalonej liczby $g\in \RR$ ciąg $\left( a_n\right)_{n\in\NN}$ spełnia warunek
$\forall {n\in\NN} \ \left| a_n-g\right| > \left| a_{n+1}-g\right|$ (*)
to granica ciągu $\left( a_n\right)_{n\in\NN}$ istnieje i wynosi $g$ . Moja odpowiedź brzmiała nie, bo dla ustalonej liczby $g$ ciąg zadany wzorem
$a_n:=g+1+\frac{1}{n}$
spełnia powyższy warunek, ale jego granicą jest $g+1$ .

alfacentaur napisał(a):

$g$ oznacza granicę w nieskończoności

Nie, $g$ jest ustaloną liczbą rzeczywistą. Twoje pytanie dotyczyło tego, czy musi być to granica ciągu spełniającego warunek (*), a powyższy przykład pokazuje, że nie.

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 10 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Analiza » Własności i granice ciągów

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
definicja granicy ciągu	kawafis44	2
Definicja granicy ciągu - zadanie 2	Dekapitator	5
definicja granicy ciągu - zadanie 3	ebenso	2
Definicja granicy ciągu - zadanie 4	davidm7	3
Definicja granicy ciągu - zadanie 5	Cayenne	1

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]