szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2018, o 12:22 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: krakow
Chciałbym się zapytać czy można definiować granicę ciągu w ten sposób.

\lim_{ n\to \infty } =g

\forall_{n\in \NN}   \left|  a_{n}-g  \right|  >   \left|  a_{n+1}-g  \right|
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2018, o 12:25 
Gość Specjalny

Posty: 5872
Lokalizacja: Toruń
Nie. Weź ciąg stały i sprawdź, że nie spełnia Twojej definicji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2018, o 12:29 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: krakow
Mogę zamienić > na\ge
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2018, o 12:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław
Wtedy również nie zadziała, ciąg
a_n= \begin{cases}  \frac{1}{2^n} \text{ gdy } 2\nmid n  \\ \frac 1 n \text{ gdy } 2|n \end{cases}
nie spełnia tego warunku, a jest zbieżny do zera.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2018, o 13:05 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: krakow
Masz rację, to nie jest równoważne definicji granicy.
Jeszcze pytanie czy jeżeli mój warunek jest spełniony, to ciąg jest zbieżny do g.

(Implikacja nie równoważność)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2018, o 13:06 
Gość Specjalny

Posty: 816
Lokalizacja: Zabrze
Nie. Weź a_n:=g+1+\frac{1}{n}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2018, o 13:31 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: krakow
Mógłbyś wytłumaczyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2018, o 13:37 
Gość Specjalny

Posty: 816
Lokalizacja: Zabrze
Ciąg ten spełnia warunek
\forall {n\in\NN} \ \left| a_n-g\right| > \left| a_{n+1}-g\right|
(prosty rachunek), ale nie jest zbieżny do g, bo jest zbieżny do g+1, a granica ciągu (jeśli istnieje) jest jedyna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2018, o 11:48 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: krakow
Tylko czy powyższy ciąg w ogóle ma prawo istnieć?g oznacza granicę w nieskończoności, ale w tym wypadku granicą jest g+1, więc z samego zapisu ciągu wynika g=g+1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2018, o 12:21 
Gość Specjalny

Posty: 816
Lokalizacja: Zabrze
Co?

Spytałeś, czy jeżeli dla ustalonej liczby g\in \RR ciąg \left( a_n\right)_{n\in\NN} spełnia warunek
\forall {n\in\NN} \ \left| a_n-g\right| > \left| a_{n+1}-g\right| (*)
to granica ciągu \left( a_n\right)_{n\in\NN} istnieje i wynosi g. Moja odpowiedź brzmiała nie, bo dla ustalonej liczby g ciąg zadany wzorem
a_n:=g+1+\frac{1}{n}
spełnia powyższy warunek, ale jego granicą jest g+1.

alfacentaur napisał(a):
g oznacza granicę w nieskończoności

Nie, g jest ustaloną liczbą rzeczywistą. Twoje pytanie dotyczyło tego, czy musi być to granica ciągu spełniającego warunek (*), a powyższy przykład pokazuje, że nie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 definicja granicy ciągu  kawafis44  2
 Definicja granicy ciągu - zadanie 2  Dekapitator  5
 definicja granicy ciągu - zadanie 3  ebenso  2
 Definicja granicy ciągu - zadanie 4  davidm7  3
 Definicja granicy ciągu - zadanie 5  Cayenne  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl