szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 sie 2018, o 13:07 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Warszawa
Jak wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną funkcji f(z)=\cos{\frac{1}{z}}?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2018, o 13:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3078
Lokalizacja: Radom
Rozpisz sobie jak jest zdefiniowany zespolony cosinus (przy pomocy exp'a)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2018, o 14:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1995
Lokalizacja: hrubielowo
Albo podejdź do problemu małymi kroczkami. Zastanów się najpierw nad samym \frac{1}{z} zapisując następująco

\frac{1}{z}= \frac{1}{x+iy}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}=\mathcal{X}+i\mathcal{Y}

gdzie:
\mathcal{X}(x,y)= \frac{x}{x^2+y^2}

\mathcal{Y}(x,y)= -\frac{y}{x^2+y^2}

Teraz problem uprościł się do policzenia części rzeczywistej i urojonej \cos\left(\mathcal{X}+i\mathcal{Y} \right) co można łatwo zrobić zapisując:

\cos\left(\mathcal{X}+i\mathcal{Y} \right)=\cos\mathcal{X}\cos i\mathcal{Y}-\sin\mathcal{X}\sin i\mathcal{Y}

Korzystając teraz ze znanych tożsamości \cos it=\text{ch}t oraz \sin it=i\text{sh}t mamy dalej:

\cos\left(\mathcal{X}+i\mathcal{Y} \right)=\cos\mathcal{X}\cos i\mathcal{Y}-\sin\mathcal{X}\sin i\mathcal{Y}=\cos\mathcal{X}\text{ch}\mathcal{Y}-i\sin\mathcal{X}\text{sh} \mathcal{Y}

Czyli ostatecznie:

\Re\left\{ \cos \frac{1}{z} \right\}=\cos\mathcal{X}\text{ch}\mathcal{Y}

\Im\left\{ \cos \frac{1}{z} \right\}=-\sin\mathcal{X}\text{sh} \mathcal{Y}

Oczywiście na koniec można podstawić za \mathcal{X} i \mathcal{Y} odpowiednie wyrażanie przyjęte wcześniej.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 sie 2018, o 14:17 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Warszawa
dziękuję, rzeczywiście zadanie jest proste :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja holomorficzna.  Anonymous  1
 pOchodna zespolona i funkcja analityczna  ewelina2461  2
 Analiza zespolona - kilka zadań  Tomcat  7
 Analiza zespolona - zadanie 5  evelinka1987  7
 Pokazać, że funkcja jest holomorficzna  KasienkaG  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl