szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sie 2018, o 15:31 
Użytkownik

Posty: 319
Witam,

w literaturze natknałem się na definicję:

\ln(z) = \log_e | z | + i \arg(z)

czy ktoś mógłby wytłumaczyć skąd wzięły się komponenty:

\log_e | z |
oraz
i \arg(z)

Dziękuję
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sie 2018, o 16:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3010
Lokalizacja: Radom
Podstawowym wymaganiem od funkcji \ln (z) jest zachodzenie e^{\ln (z)} =z. Czyli logarytm ma byc odwrotny do expa. Możesz sprawdzić, że to co wypisałeś to jedyna możliwosć
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sie 2018, o 16:07 
Gość Specjalny

Posty: 812
Lokalizacja: Zabrze
Logarytm naturalny z liczby zespolonej z chciałoby się zdefiniować jako taką liczbę w, że e^w=z. Jak przedstawimy z w postaci wykładniczej, to
e^w=z=\left| z \right| e^{i\arg (z)}= e^{\ln \left| z \right|} e^ {i \arg(z)}= e^{\ln \left| z \right| + i \arg(z)}
czyli w=\ln \left| z \right| + i \arg(z) byłoby dobry kandydatem na logarytm naturalny liczby z.

Oczywiście w'=w+2\pi i też spełnia zależność e^{w'}=z, bo funkcja wykładnicza jest okresowa - logarytm jest niejednoznaczny! Co gorsza, logarytm nie jest funkcją ciągłą na \CC \setminus \left\{ 0 \right\}, bo \arg nie jest.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sie 2018, o 21:52 
Użytkownik

Posty: 319
Świetnie wyjaśnione! Dziękuję :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 logarytm naturalny liczby zespolonej  desert  3
 Residum funkcji zespolonej  major321  0
 Całka funkcji zespolonej w kierunku dodatnim  major321  0
 Obszar holomorficzności funkcji zespolonej.  Insol3nt  8
 Istnienie funkcji zespolonej  Wojtolino  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl