szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2018, o 00:33 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa
Witam, chciałbym spytać jakim najprostszym sposobem rozwiązywać zadanie tego typu?

Treść zadania:

Niech f(x) =  \sqrt{x}, g(x) =  x^{2} + \ln x, h(x) = x\ln x. Zdecyduj, które zdania są poprawne:

f \in  \omega (g), \\
g  \in  \omega (g), \\
g  \in  \omega (2g), \\
h  \in  O (2h+1), \\
f + h  \in \Theta (h), \\
h  \in  \Omega (h), \\
g  \in  \Theta (h), \\
g  \in \omega (h), \\
g + h  \in \Theta (h)

Mi tylko ten przykład wychodzi, że jest poprawny:
h \in  O(2h+1)

Ale chyba coś źle liczę :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2018, o 21:44 
Użytkownik

Posty: 775
Lokalizacja: Polska
Z definicji liczysz przecież...

f \in \omega (g)

\sqrt{n} > c \cdot n^2
\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} > c

Już łatwo wskazać, że dla n>1 i c \ge 1 nierówność nigdy nie zajdzie, wniosek jest więc oczywisty...

x^2 > c \cdot x^2
1 > c

Jak łatwo pokazać, dla c > 1 nigdy nie zajdzie, a zatem odpada

Resztę spróbuj sam (znasz w ogóle definicje tych relacji?)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 00:25 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa
A co się u ciebie stało z Obrazek zaznaczonym na żółto?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 04:10 
Użytkownik

Posty: 775
Lokalizacja: Polska
Aj no tak, nie zauważyłem tego.

Dla pierwszego
Mimo wszystko zauważ, że

cx^2 < cx^2+c \ln x

dla x>1, c \ge 1
A zatem i tak wychodzi na to samo.

Dla drugiego to samo, bo podzielisz stronami przez x^2 +\ln x i znowu dla c>1 nie zachodzi (pamiętaj, że nie obchodzą nas małe liczby - jeśli dla dowolnie dużych i większych nie zajdzie, to już wystarczy w tym przypadku...)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 22:38 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa
g \in \omega (2g)
x^{2} + \ln x > c \cdot 2 \cdot x^{2} + \ln x // skracam
1 > c \cdot 2 // niepoprawne, bo c moze być większe od 1

h \in O (2h+1)
x \ln x \le c \cdot 2 \cdot x \ln x + 1 //skracam
1 \le c \cdot 2 //poprawne, bo c większe od 1

f + h \in \Theta (h)
c_{1} \cdot x \ln x \le \sqrt{x} + x^{2} + \ln x \le c_{2} \cdot x \ln x //wstawiam za x liczbę 1
c_{1} \cdot 1 \cdot 0 \le \sqrt{1} + 1+ 0 \le c_{2} \cdot 1 \cdot 0
0 \le 2 \le 0 //niepoprawne

h \in \Omega (h)
x \ln x \ge c \cdot x \ln x //skracam
1 \ge c //niepoprawne bo c może być większe od 1

g \in \Theta (h)
c_{1} \cdot x \ln x \le x^{2} + \ln x \le c_{2} \cdot x \ln x //podstawiam 1 za x
c_{1} \cdot 1 \cdot 0 \le 1 + 0 \le c_{2} \cdot 1 \cdot 0
0 \le 1 \le 0 //niepoprawne

g \in \omega (h)
x^{2} + \ln x > c \cdot x \ln x //podstawiam 1 za x
1 + 0 > c \cdot 1 \cdot 0//zgadza się, więc podstawiam 2 za x do tego wyżej
4 + 0,69 > c \cdot 2 \cdot 0,69 //niepoprawne, bo c może być większe niż 1

g + h \in \Theta (h)
c_{1} \cdot x \ln x \le x^{2} + \ln x + x \ln x \le c_{2} \cdot x \ln x // podstawiam 1 za x
c_{1} \cdot 1 \cdot 0 \le 1 + 0 + 1 \cdot 0 \le c_{2} \cdot 1 \cdot 0
0 \le 2 \le 0//niepoprawne

Tak to się robi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2018, o 22:16 
Użytkownik

Posty: 775
Lokalizacja: Polska
x^{2} + \ln x > c \cdot 2 \cdot (x^{2} + \ln x)

Skrócenie ok, ale nawias zjadłeś...

x \ln x \le c \cdot 2 \cdot x \ln x + 1
Tu skrócić nie możesz, ale zostaje ci

-1 \le (2c-1)x \ln x

No i oczywiście dla x \ge 1 i c \ge \frac{1}{2} mamy prawdziwą nierówność

f + h \in \Theta (h)
Tu uzasadnienie złe, bo może zachodzić np. od x = 2 w górę.


Póki co nie mam czasu na resztę, ale zapoznałbym się dokładnie z formalnymi definicjami...
Przy skracaniu pamiętaj o uzasadnieniu, że można i dlaczego można!!!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jak znaleźć wektor najmniejszego wzrostu? - zadanie 2  niunsn  1
 Asymptotyczne tempo wzrostu funkcji - zadanie 2  pi0tras  9
 Tempo zmian  martusia-3  0
 Procent wzrostu marży  kcp  1
 Średnie tempo zmian zjawiska w czasie  Fate_93  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl