Problem z uzasadnianiem podzielności.

Witam. Zacząłem naukę w liceum w klasie humanistycznej. Matematyka jako przedmiot zawsze sprawiała mi jakiś problem, ostatnim moim tematem na lekcji była "podzielność liczb". Pani dała nam zadanie "Jaka jest struktura liczby podzielnej przez ?" Tutaj wszystko rozumiałem, rozpisała nam to tak, że wszystkie liczby podzielne przez są w postaci , potem te, które podczas dzielenia dają resztę są w postaci oraz dalej . Następnie dostaliśmy zadanie "Uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb jest podzielna liczba przez " Tutaj też nic nie sprawiło mi problemu. Potem wyjaśniła nam, że każda kolejna liczba jest podzielna przez , tutaj rozpisała w ten sposób jak można przedstawiać te liczby.

Tutaj zaczynają się schody, bo wiem nie rozumiem przekształcenia punktu 2 i 3 o co tutaj chodzi, przez co nie rozumiałem ani trochę kolejnych zadań.
Dostaliśmy takie zadanie "Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej taki iloczyn jest podzielny przez . Podała nam dwa sposoby rozwiązania tego, ale ja kompletnie nic nie zrozumiałem. Mógłby mi ktoś tutaj to rozpisać i wytłumaczyć co oznacza i dlaczego tak się robi? Później było tylko gorzej, następne zadanie typu "Udowodnij, że dowolne 2 liczby naturalne i : lub lub lub " oraz "Dane są takie 3 liczby całkowite, że różnica dowolnych dwóch z nich jest podzielna przez "
"Czy każda z tych liczb musi być podzielna przez ?" "Czy suma tych liczb jest podzielna przez ?". Bardzo proszę o pomoc, gdyż kompletnie nie daję sobie z tym rady. Dziękuję.

Dziękuję bardzo za wytłumaczenie, teraz wiem przynajmniej co to oznacza. Jeśli chodzi o m, to mój błąd powinno być tam n. Wczoraj sobie posiedziałem nad zadaniami i je przeanalizowałem, rozumiem o co w nich chodzi, aczkolwiek nadal pozostaje jedno, którego nie rozumiem. Jego polecenie jest następujące: "Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej taki iloczyn jest podzielny przez 6". Mam tutaj podane dwa przykłady na zrobienie tego, ale kompletnie nie pojmuję na czym to polega. Prosiłbym więc o wytłumaczenie i jak to zrobić. Na końcu mam pytanie odnośnie tego, że dodajemy do obu stron 2, jest to uzasadnione działanie w celu udowodnienia czegoś, bo nie rozumiem? Dziękuję.

Trzeba chwilę pokombinować. Musisz pokazać, że ta liczba jest podzielna przez i przez . Przez jest prosto: liczby i to kolejne liczby naturalne, więc jedna jest parzysta. Żeby pokazać podzielność przez możesz np. rozważyć trzy przypadki, ze względu na to, jaką resztę z dzielenia przez daje liczba .

JK

Co do dodawania 2 - tak właśnie, zrobiono to aby pokazać dalszy ciąg, czyli podzielność przez 3 po tym dodaniu.

Co do , nie wiem jak miałeś w szkole, można na przykład tak (trochę długo, ale taki mam pomysł) :

Liczba (n) może być podzielna przez 3, czyli jest postaci * albo niepodzielna przez 3 , czyli jest postaci ** lub ***.

Przypadek * (wstawiamy zamiast (n) do postaci z zadania to (3k)) mamy .
Teraz rozpatrujemy otrzymane dla :
1) nieparzystego - pierwszy czynnik dzieli się przez 3 a drugi jest parzysty (dzieli się przez dwa) - zatem ten iloczyn jest podzielny przez 6 (bo liczba dzieli się przez sześć gdy jednocześnie dzieli się przez 2 i 3).
2) parzystego - pierwszy czynnik jest podzielny przez 2 i 3 (jest co trzeba).

Przypadek ** - mamy , ostatni czynnik dzieli się przez 3, a pierwszy albo drugi jest parzysty (mamy).

Przypadek *** - mamy , drugi czynnik jest podzielny przez 3
1) dla parzystego pierwszy czynnik jest parzysty (mamy co trzeba)
2) dla nieparzystego drugi czynnik jest parzysty (mamy co trzeba)