szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 18:31 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Tarnów
\sum_{ n=1}^{ \infty } \left( \sin \frac{1}{n} \cdot \cos \frac{1}{n}  \right)
Cały czas wychodzi mi on zbieżny, w odpowiedzi jest rozbieżny. Jest błąd czy ja nie mam racji ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 18:53 
Administrator

Posty: 23763
Lokalizacja: Wrocław
Może pokaż, jak rozumujesz?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 19:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13199
Lokalizacja: Wrocław
Wskazówki:
\cos \frac 1 n\ge \cos 1 dla n\in \NN^+ (i \cos 1 jest stałą z zakresu (0,1), gdyż 0<1<\frac{\pi}{2}) oraz w pierwszej ćwiartce zachodzi nierówność \sin x\ge \frac{2}{\pi}x. Połącz te fakty.

A jak możesz (tj. jak znasz to kryterium), to skorzystaj z kryterium asymptotycznego, to kończy zadanie natychmiast.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 19:23 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Tarnów
Moje rozumowanie jest takie:
Funkcje \sin i \cos przyjmują wartości:
-1 \le \sin x  \le 1  \wedge -1 \le \cos x  \le 1
szereg przekształciłem:
\sin \frac{1}{n} \cdot \cos \frac{1}{n}= \frac{\sin \frac{2}{n} }{2}
Jeżeli n dąży do nieskończoności to wartość sinusa raz będzie rosnąć, a raz maleć, a cosinus na odwrót. Warunek konieczny jest spełniony, gdyż przepis szeregu dąży do zera. Więc jeżeli jeśli funkcje przyjmują wartości od -1 do 1 więc wartość przepisu całego szeregu będzie \frac12, mniej od jeden więc jest zbieżny.
Troche nieczytelnie ale ja tak to rozumuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 19:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13199
Lokalizacja: Wrocław
To rozumowanie sugeruje, że nie rozumiesz, czym jest zbieżność szeregu i nie znasz podstawowych kryteriów zbieżności. No offence. Sugeruję poczytać na przykład w skrypcie pana Strzeleckiego z UW: https://www.mimuw.edu.pl/~pawelst/anali ... 1.010c.pdf
bądź w skrypcie pana Głowackiego z UWr: http://www.math.uni.wroc.pl/~glowacki/a ... klad05.pdf
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 19:41 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Tarnów
Wiem ze idealnie nie umie ale wiekszosc robie wzorcowo, tak samo jak są przedstawiane w odpowiedziach. To jest jeden z niewielu przykładów który sprawił mi problem więc próbowałem do niego jakoś podejść na moją logike. Z pana wskazówkami już mi wyszedł, że jest rozbieżny. Jestem samoukiem i sobie ćwicze przed pójściem na studia. Dziękuje za podane pozycję, z chęcią poczytam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 20:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1773
Lokalizacja: hrubielowo
Zacząłeś ok choć można się bez tego obejść co już pokazał Premislav. A co do przykładu to czy wiesz że dla dużych n\in\NN mamy \frac{1}{2} \sin\left(  \frac{2}{n} \right) \approx  \frac{1}{n}. To oczywiście jeszcze nie jest rozwiązanie ale co powiesz o szeregu \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 20:33 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Tarnów
\frac{1}{n} jest rozbieżny
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 20:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1773
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
\frac{1}{n} jest rozbieżny
No jak sobie dośpiewam że chodzi o szereg to tak. Więc teraz skoro \frac{1}{2} \sin\left( \frac{2}{n} \right) \approx \frac{1}{n} to szereg \sum_{ n=1}^{ \infty } \left( \sin \frac{1}{n} \cdot \cos \frac{1}{n} \right) też w naturalny sposób będzie podejrzany o rozbieżność. To podejrzenie formalizuje kryterium ilorazowe i fakt że:

\lim_{n \to  \infty }  \frac{\sin \frac{1}{n} \cdot \cos \frac{1}{n}
}{ \frac{1}{n} }=1

albo to o czym pisał Premislav, tylko użył innych słów i przedstawił formalizację za pomocą oszacowań i bliźniaczego kryterium.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 20:56 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Tarnów
Chyba rozumie, ale jeszcze mam pytanie. Skąd mam się dowiedzieć, że ta wartość jest w przyblizeniu równa \frac{1}{n}. Trzeba to samemu wymyslić czy są na to jakieś wzory (wiem ze kilka nierówności podobnych jest)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 21:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1773
Lokalizacja: hrubielowo
Są "wzory" jest też intuicja i doświadczenie w podobnych przykładach. Tu pomaga znajomość granicy

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1

W której można zamienić x na \frac{1}{n} i dać n\to \infty. Znajomość prostych nierówność np. wspomniane \sin x\ge \frac{2}{\pi}x też pomaga.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2018, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Tarnów
Takie granice to ja znam, a są może gdzieś spisane wszystkie takie przydatne nierówności ?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 badanie zbieżności szeregów - zadanie 14  rybka0805  4
 Badanie zbieżności szeregów - zadanie 21  Dexms  6
 Badanie zbieżności szeregów - zadanie 15  nfan  9
 badanie zbieżności szeregów - zadanie 17  timus221  7
 Badanie zbieżności szeregów - zadanie 5  ?elka  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl