szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2018, o 13:18 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Witam, mam za zadanie przedstawić poniższe wyrażenie we współrzędnych biegunowych

W(u, v) =  \frac{ \partial u}{ \partial x} \cdot  \frac{ \partial v}{ \partial y} -  \frac{ \partial v}{ \partial x} \cdot \frac{ \partial u}{ \partial y}

Cały czas kombinuję jak to ugryźć, niestety nie udaje mi się.

u = r \cdot \sin ( \alpha )
v = r \cdot \cos ( \alpha )

r =  \sqrt{x ^{2} +  y^{2}  }

\alpha = \arctg \frac{x}{y}

Zakładam, że moim celem jest eliminacja zmiennych u, v, x, y z wyrażenia na rzecz samych tylko r i \alpha aby powstało coś typu...

W(r,  \alpha) =  \frac{A  \cdot   \partial  \alpha }{ \partial r}...

Niestety jak dotąd moje przekształcenia nie doprowadziły mnie do celu :( . Bardzo proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2018, o 14:06 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Śląsk
Sądzę, że raczej powinniśmy przyjąć:
x=r\cdot \sin \alpha \\
y=r\cdot \cos \alpha
i wtedy
r=\sqrt{x^2+y^2}\\
\alpha= \arctan\frac{x}{y} \Rightarrow \frac{x}{y}=\tan \alpha.

Wówczas dążylibyśmy do wyeliminowania zmiennych x i y na rzecz r oraz \alpha.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2018, o 14:12 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Lublin
A to nie jest tak, że:

u = f(x,y) oraz v = g(x,y)? Więc prawdopodobnie chcesz przekształcić tylko (x, y)  \Rightarrow (r, \alpha), ale chyba nie chcesz się pozbyć funkcji u i v, prawda?

Edit: to do autora zadania, nie zauważyłem, że ktoś mnie wyprzedził :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2018, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Czy tak?

\mbox{d}x =  \mbox{d}r  \cdot \sin( \alpha )
\mbox{d}y =  - r  \cdot \sin( \alpha )  \cdot   \mbox{d} \alpha

W(u, v) =  \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}r  \cdot \sin( \alpha ) }  \cdot \left( -  \frac{ \mbox{d}v }{r  \cdot \sin( \alpha )  \cdot  \mbox{d} \alpha } \right) -  \frac{ \mbox{d}v }{ \mbox{d}r  \cdot  sin( \alpha ) }  \cdot \left( -  \frac{ \mbox{d}u }{r  \cdot \sin( \alpha )  \cdot   \mbox{d} \alpha } \right)

Czy powinienem jeszcze jakoś pozbyć się r i \sin( \alpha ) :?:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2018, o 10:33 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Śląsk
Zmienne r i \alpha (czyli też \sin\alpha) mają zostać, o to chodzi w zamianie zmiennych. Chcemy wyeliminować jedne, na rzecz drugich.

Zacznę od tego, że teraz zauważyłem, że przyjąłem współrzędne biegunowe odwrotnie niż robi się to zazwyczaj. Zwykle przyjmuje się:

x=r \cos\alpha\\
y=r \sin \alpha
i wtedy
r=\sqrt{x^2+y^2}\\
\alpha=\arctan\frac{y}{x}
To nie ma większego znaczenia, bo to tylko zamiana symboli (to tak jakbym obrócił układ współrzędnych, tzn. zamienił miejscami osie x i y). Piszę o tym, bo potem pochodne \frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial r}{\partial y}... mogą się różnić (będą odwrotnie) od tych na zajęciach, żebyś wiedział dlaczego.
Dalej będę trzymać się tego co napisałem we wcześniejszym poście.

Jednak reszta jest już źle. Chcemy zamienić funkcje u(x,y) i v(x,y) na funkcje zależne od r oraz \alpha. Musimy więc policzyć pochodne
\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial y}. Jak się liczy pochodne funkcji wielu zmiennych? Żeby policzyć \frac{\partial u}{\partial x} musisz "znaleźć wszystkie ścieżki dojścia do x". To bardzo kolokwialny zwrot, ale dobrze widać to jak narysujesz sobie to co teraz napisze na schemacie. Teraz po zamianie zmiennych funkcja u jest zależna od r oraz \alpha. Natomiast r oraz \alpha są zależne od x i y (każda od obu). Stąd:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial r}\cdot \frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \alpha}\cdot \frac{\partial \alpha}{\partial x}.
Pochodne
\frac{\partial r}{\partial x} i \frac{\partial \alpha}{\partial x}
jesteśmy w stanie wyliczyć i tu zacząłeś dobrze, ale pochodna \frac{\partial \alpha}{\partial  x} jest źle.
W analogiczny sposób znajdziesz pozostałe pochodne.

Wszystko jest dobrze opisane tutaj: https://www.matematyka.pl/254093.htm. Przykład 4. jest właśnie o zamianie na współrzędne biegunowe.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przybliżona wartość wyrażenia - zadanie 8  erimentha  2
 Zapis liczb w postaci sum szeregów o wyrazach wymiernych  crucifix  1
 wykorzystanie taylora do zmiany postaci wielomianu  shreder221  1
 Obliczyć przybliżona wartość wyrażenia - zadanie 3  walistopa  1
 Oblicz i przedstaw w najprostszej postaci pochodne  polinuda  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl