szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2018, o 21:12 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Dębica
Witam, potrzebuję pomocy z zadaniem:
Obliczyć długość krzywej zadanej równaniem:

y(x)= \int_{1}^{x} \sqrt{t^3-1}dt dla 1 \le x \le 4

Generalnie ogarniam jak się liczy długość krzywej, ale nie potrafię policzyć tej całki i stąd pytanie czy da się to zrobić prościej np. przez jakiś wzór na pochodną z całki oznaczonej? Z góry dziękuję i pozrawiam :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 11 wrz 2018, o 21:30 
Użytkownik

Posty: 4433
Z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego:

\frac{dy}{dx} = \sqrt{x^3 -1}

Długość krzywej:

|L[y(x)]| = \int_{1}^{4}\sqrt{1 + \left(\sqrt{x^3 -1}\right)^2}dx  = \int_{1}^{4}x^{\frac{3}{2}}dx = ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2018, o 21:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1997
Lokalizacja: hrubielowo
Całki nie trzeba liczyć. Ogólnie długość krzywej \Gamma tworzonej przez wykres funkcji f(x) na \left[ a,b\right] wyraża się wzorem

\left| \Gamma\right|= \int_{a}^{b} \sqrt{1+\left( f'\right)^2 } \mbox{d}x

W roli f(x) jest tu \int_{1}^{x} \sqrt{t^3-1} \mbox{d}t określona na \left[ 1,4\right] tak więc długość ów krzywej to

\left| \Gamma\right|=\int_{1}^{4} \sqrt{1+\left( \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x } \int_{1}^{x} \sqrt{t^3-1} \mbox{d}t \right)^2 } \mbox{d}x

Oczywiście problemem jest tu \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x } \int_{1}^{x} \sqrt{t^3-1} \mbox{d}t więc zatrzymajmy się na chwile nad tym i zapiszmy za Newtonem że \int_{1}^{x} \sqrt{t^3-1} \mbox{d}t=F(x)-F(1) czymkolwiek F jest. Wiemy jednak że różniczkowanie funkcji F da nam funkcje podcałkową.

\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x } \int_{1}^{x} \sqrt{t^3-1} \mbox{d}t=\left( F(x)-F(1)\right)'=F'(x)= \sqrt{x^3-1}

Po podstawianiu tego do całki mamy:

\left| \Gamma\right|=\int_{1}^{4} \sqrt{1+\left(  \sqrt{ x^3-1} \right)^2 } \mbox{d}x=\int_{1}^{4} \sqrt{x^3} \mbox{d}x= \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{ \frac{3}{2}+1 } \Bigg|_{1}^{4}

Wstaw granice całkowania i koniec.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 wrz 2018, o 08:06 
Użytkownik

Posty: 4433
Panie Januszu Tracz myślę, że twierdzenie podstawowe rachunku różniczkowego i całkowego autor zna,
i wie co to jest funkcja pierwotna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2018, o 08:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1997
Lokalizacja: hrubielowo
Domyślam się że mówi Pan o sformowaniu "czymkolwiek F jest" czyż nie? Chciałem podkreślić że wiedza o tym czym konkretnie jest F nie jest tu potrzeba bo znacznie ważniejsze jest poznanie F'. W umiejętności autora nigdy nie wątpiłem dlatego zostawiałem mu zastosowanie podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 wrz 2018, o 09:30 
Użytkownik

Posty: 4433
Tak. I nie "wjeżałbym" kwadratem pochodnej całki pod pierwiastek.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2018, o 10:39 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Dębica
@Janusz Tracz

Dziękuję za odpowiedź, ale mam jeszcze jedno pytanie,skąd w zapisie:
\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x } \int_{1}^{x} \sqrt{t^3-1} \mbox{d}t=\left( F(x)-F(1)\right)'=F'(x)= \sqrt{x^3-1}
wzięło się, że:
(F(x)-F(1))'=F'(x)
co się stało z jedynką?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2018, o 10:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1997
Lokalizacja: hrubielowo
Z twierdzenia rachunku różniczkowego. Wiemy z definicji całki że:

\int \sqrt{t^3-1} \mbox{d}t=F(t)+C

przy czym \frac{ \mbox{d}F(t)}{ \mbox{d}t}= \sqrt{t^3-1}

Natomiast jeśli mamy całkę oznaczoną to

\int_{1}^{x} \sqrt{t^3-1} \mbox{d}t=F(x)-F(1)

Nas interesuje pochodna tej funkcji tj pochodna \int_{1}^{x} \sqrt{t^3-1} \mbox{d}t czyli innymi słowy

\left(F(x)-F(1) \right)'

pamiętaj o liniowości pochodnej i o tym że pochodna stałej to zero dlatego

\left(F(x)-F(1) \right)'=F'(x)-F'(1)=F'(x)

A o F'(x) wiemy że jest to po prostu \sqrt{t^3-1} w punkcie x czyli \sqrt{x^3-1}. Dalej już podstawiamy do całki wyrażającej długość.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczyć residua  gooooo  2
 Obliczyć całkę z wzoru na residua  Ashrien  2
 Obliczyć całkę po łuku zamkniętym  dave170  1
 Obliczyć całke - zadanie 214  alek1292  1
 Obliczyć całkę po prostokącie  malgoskk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl