szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2018, o 10:57 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Kraków
Mam do policzenia całkę:
\int\int\int{x^2y}dxdydz
Ograniczoną:
x^2+y^2=4
x^2+y^2=z+3
x^2+y^2=z-5
Stosując współrzędne walcowe
x=r\cdot\cos{\left(\varphi\right)}
y=r\cdot\sin\funcapply(\varphi)
z=z
J=r
Podstawiam do całki:
\int\int\int{r^2\sin{\varphi}\cos{\varphi}}drd\varphi dz
I zaczynają się schody, ponieważ nie widzę możliwości policzenia całki dla całości warunków na raz, więc pomyślałem, że policzę osobno dla walca i paraboloidy x^2+y^2=z+3 i potem osobno dla walca i drugiej paraboloidy.
Ale nawet tutaj prawdopodobnie popełniam błąd, prawdopodobnie źle zapisuję po współrzędnej z:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{-3}^{x^2+y^2-3}{r^2\sin{\varphi}\cos{\varphi dzdrd\varphi}}
Ponieważ wynik całki mi się zeruje...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2018, o 11:16 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Lublin
Dlaczego w ostatniej całce masz z \in \left( -3,\right x^{2} + y^{2} - 3) jak x^{2} + y^{2} - 3 możesz zapisać inaczej (lepiej) przy pomocy współrzędnych walcowych?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2018, o 11:44 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Kraków
Faktycznie, racja, zrobiłem sobie to podstawienie dopiero po podstawieniu granic, bez sensu :-)
Ale nie zmienia to niestety wyniku :-(
x^2+y^2=z+3
r^2\cos^2{\varphi}+r^2\sin^2{\varphi}=z+3
r^2-3=z
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{-3}^{r^2-3}{r^2\sin{\varphi}\cos{\varphi dzdrd\varphi}}
Bo i tak wychodzi:
\int_{-3}^{r^2-3}{r^2\sin{\varphi}\cos{\varphi dz}}=\frac{r^4}{2}\sin{2\varphi}
\int_{0}^{2\pi}{\frac{r^4}{2}\sin{2\varphi}d\varphi}=0
Pytanie brzmi czy w ogóle te granice po zmiennej z tutaj mają sens :-)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2018, o 12:29 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Lublin
jak dla mnie mają sens tylko się zastanawiam czy od -3 po r^{2}-3 czy z tych dwóch:

x^2+y^2=z+3
x^2+y^2=z-5

nie powinno być od r^{2}-3 po r^{2}+5. Nie jestem pewny, dawno takich całek nie robiłem.

Mógłbyś sprawdzić wynik w kalkulatorze całek potrójnych.

Ale wynik całki 0 nie jest jakiś zły jakby coś.

\int_{0}^{2\pi} \sin{x} dx
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2018, o 20:34 
Użytkownik

Posty: 15252
Lokalizacja: Bydgoszcz
Mam inną propozydję: proponują zamianę zmiennych x'=x, y'=-y, z'=z Wartość bezwzględna jakobianu tego przekształcenia jest równa 1, obszar całkowania się nie zmienia, więć

\iiint_V x^2ydxdydz=-\iiint_V x'^2y'dx'dy'dz', zatem szukana całka jest róna zero
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 całka  Anonymous  1
 Całka nieoznaczona - zadanie 1660  uczeń777  1
 Całka funkcji trygonometrycznej - zadanie 3  juan_a  4
 całka i pochodna  Tom100  1
 [analiza] calka potrojna  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl