szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2018, o 18:50 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Warszawa
Prosze o sprawdzenie poprawności rozwiązanego zadania:

Mam znaleźć styczną do cykloidy (t+\sin{t}, 1+\cos{t}) w chwili t=2\pi

Znalazłem następujący wzór, mam nadzieję, że skorzystałem z dobrego:

y - y _{1} = m(x - x_{1})

Zatem:
x_{1} = 2\pi + \sin{2\pi} = 2\pi
y_{1} = 1 + \cos{2\pi} = 1 + 1 = 2

Następny wzór to:
m =  \frac{ \frac{dy}{dt} }{ \frac{dx}{dy} }

Zatem licze pochodne:

\frac{-\sin{t}}{1+\cos{t}} = \frac{-\sin{2\pi}}{1+\cos{2\pi}} = \frac{0}{2} = 0

Podstawiam wszystko do wzoru i wychodzi mi:

y - 2 = 0            y = 2

Zatem styczną do podanej cykloidy jest prosta y=2

Czy to jest dobrze? Posiłkowałem się zagranicznymi źródłami dlatego nie wiem czy znalazłem odpowiednie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2018, o 21:14 
Użytkownik

Posty: 3482
C(t)=[t - \sin(t), 1 -\cos(t)]. - równania parametryczne cykloidy normalnej (r = 1).

\frac{dy}{dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}

\frac{dy}{dt}  = \frac{\sin(t)}{1-\cos(t)}.

Równanie ogólne stycznej:

y(t) = a\cdot x + b

Wyznaczenie współczynnika b:

y(t) = \frac{\sin(t}{1-\cos(t)} +b

1- \cos(t) = \frac{\sin(t)}{1-\cos(t)}\cdot (t-\sin(t)) + b.

b = 1-\cos(t) -\frac{\sin(t)(t-\sin(t))}{1-\cos(t)}= \frac{(1-\cos(t))^2-\sin(t)(t-\sin(t)}{1-\cos(t)}.

Równanie stycznej do cykloidy:

y(t) = \frac{\sin(t)}{1-\cos(t)}x + \frac{(1-\cos(t))^2-\sin(t)(t-\sin(t)}{1-\cos(t)}

lub

y(t) = \frac{\sin(t)}{1-\cos(t)}x  + \frac{2(1-\cos(t))- t\sin(t)}{1-\cos(t)}.

lub

y (t) = \ctg\left(\frac{t}{2}\right)x + 2 - t\ctg\left(\frac{t}{2}\right).

t\in \{\RR \setminus 2k\pi,\ \ k\in Z \}.

Dla t =  2k\pi,  k\in Z:

\lim_{t \to 2k\pi^{+}} \frac{dy}{dx} = \lim_{t \to 2k\pi^{+}} \frac{sin(t)}{1- \cos(t)}= H  =\lim_{t\to 2k\pi^{+}} \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = +\infty

\lim_{t \to 2k\pi^{-}} \frac{dy}{dt} = \lim_{t \to 2k\pi^{-}} \frac{sin(t)}{1- \cos(t)}= \lim_{t\to 2k\pi^{-}} \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = -\infty.

W tym przypadku stycznymi do cykloidy są proste pionowe o równaniach:

x_{k} = 2\pi k, \ \  k\in Z.

Dla k=1, \ \ x_{1} = 2\pi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2018, o 21:48 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Warszawa
Przepraszam, ale dla mnie się tu za dużo dzieje, więc nie jestem w stanie nawet stwierdzić czy dobrze zrobiłem czy w ogóle nawet nie byłem blisko.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2018, o 22:01 
Użytkownik

Posty: 3482
Co to znaczy za dużo się dzieje?

Z równań parametrycznych cykloidy normalnej - obliczamy jej współczynnik kierunkowy a = \frac{dy}{dx}.

Wyznaczamy współczynnik przesunięcia prostej b, podstawiając za x, y odpowiednio jej równania parametryczne.

Pokazujemy, że w przypadkach granicznych x = 2\pi k, \ \ k\in Z w punktach, gdzie wykres cykloidy ma "piki" równania stycznych są postaci: x_{k} = 2\pi k, \ \ k =...\pm -1, 0, \pm 1,...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2018, o 22:12 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Warszawa
Dzieje się dużo w sensie mam do rozwiązania 5 podobnych zadań w 20 minut na kolokwium, a tu przeczytanie samych tych wzorów zajmuje sporo czasu a jeszcze trzeba policzyć, zakładam więc, że to jednak nie o to chodzi.

Chciałbym się po prostu dowiedzieć czy mam dobry wynik, sugerowałem się tym źródłem:
https://www.youtube.com/watch?v=glt1CtpTOxg

Gdzie opisuje znajdywanie stycznej do krzywej parametrycznej, z tego co wiem cykloida taką jest.
Nie ukrywam, że geometrię analityczną chcę zdać i zapomnieć, bo zajmuje mi zdecydowanie zbyt dużo czasu, który mógłbym przeznaczyć na programowanie i poszerzanie wiedzy, która przyda mi się w pracy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2018, o 01:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6507
@ BigPaws,
To dobre rozwiązanie.

Równanie stycznej zadanej parametrycznie:
y-y(t_0)= \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}(x-x(t_0))

Zauważ że Janusz rozwiązał trochę inne zadanie i stąd ma inne wyniki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2018, o 09:49 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Warszawa
Dziękuję. W przypadku innego przedmiotu (albo może innego prowadzącego) chętniej wgryzłbym się w tematykę, ale do tego straciłem całe serce przez postawę "mój przedmiot jest najważniejszy, mimo, że na doczepkę".
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Styczna do okręgu z punktu  opti  4
 parabola, sieczna, styczna  wiedzma  1
 styczna do paraboli - zadanie 2  Dredek  2
 Styczna do okręgu - zadanie 11  Bart1110  0
 Styczna do okręgu w punkcie  kasik913  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl