szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2018, o 09:04 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Wrocław
Dany jest równoległobok ABCD. Punkt E należy do boku AB, a punkt F należy do boku AD. Prosta EF przecina prostą CB w punkcie P, a prostą CD w punkcie Q. Wykaż, że niezależnie od wyboru punktów E i F pole trójkąta CEF jest równa polu trójkąta APQ.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2018, o 17:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6507
Niech:
\left| AB\right|=a\\
\left| AC\right|=b\\
\left| AE\right|=x\\
\left| AF\right|=y\\
\angle BAD= \alpha
wtedy:
P_{CEF}=P_{ABCD}-P_{AEF} -P_{BCE}-P{CDF} =\\=ab\sin \alpha - \frac{1}{2}xy\sin \alpha -  \frac{1}{2}(a-x) \cdot b\sin \left(  \pi - \alpha \right) - \frac{1}{2}a \cdot (b-y)\sin \left(  \pi - \alpha \right)=\\=\frac{1}{2}\sin  \alpha \left(  ay+bx-xy \right)
P_{APQ}=P_{AEF}+P{AEP} +P{AFQ}=P_{AEF}+(P_{ABP} -P_{BEP})+(P{ADQ}-P{DFQ})=\\=
\frac{1}{2}xy\sin \alpha+\frac{1}{2}a \cdot  \frac{y(a-x)}{x} \sin \alpha-\frac{1}{2}(a-x) \cdot  \frac{y(a-x)}{x} \sin \alpha+\\+\frac{1}{2}b \cdot  \frac{x(b-y)}{y} \sin \alpha-\frac{1}{2}(b-y) \cdot  {x(b-y)}{y} \sin \alpha=\frac{1}{2}\sin  \alpha \left(  ay+bx-xy \right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2018, o 18:33 
Użytkownik

Posty: 259
Lokalizacja: Polska
Dana równość pól sprowadza się do stwierdzenia, że d(A,l) \cdot PQ=d(C,l) \cdot EF, gdzie d(X,l) oznacza odległość punktu X od prostel l (prosta l to prosta EFPQ), co jest równoważne \frac{d(C,l)}{PQ}=\frac{d(A,l)}{EF}, która jest już jasna - aby lepiej to zobaczyć zauważmy, że przesuwając prostą l równolegle zarówno jedna strona równania, jak i druga się nie zmienia (jednokładność), a ze względu na symetrię równoległoboku, obie strony muszą być równe (można to lepiej zauważyć oznaczając przez l' prostą symetryczną do l względem środka równoległoboku i analogicznie definiując punkty P', Q', E' i F' - wówczas kilka Talesów oraz wraz z zastosowaniem równości d(A,l)=d(C,l') oraz d(A,l')=d(C,l), które również wynikają z symetrii dają nam tezę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz pole rombu mając dany obwód i różnice dł. prze  Anonymous  13
 Oblicz pole figury, która jest wspólną częscią ...  the moon  2
 Udowodnij, że pole czworokąta wpisanego w czworokąt jest  Anonymous  1
 jaki jest wzór na pole pięciokata ?  Anonymous  2
 rozstrzygnięcie które przekształcenie jest jednoznaczne.  Snake  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl