szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2018, o 18:03 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Warszawa
No i w końcu utknąłem totalnie na ostatnim zadaniu, nie wiem jak je ugryźć, podręcznik nic o tym nie ma, a materiałów w internecie jak na lekarstwo.

Najpierw polecenie:
Wyznacz krzywiznę Gaussa i krzywiznę średnią powierzchni daną równaniami:
x = 4\cos u \cos v
y=4\sin u \cos v
z = 4 \sin v

Wiem, że do obu tych rzeczy muszę znaleźć krzywizny główne k_1, k_2.

I z ich wyznaczeniem mam problem. Wiem jak się wyznacza krzywizny dane parametrycznie, ale nawet jakbym tutaj policzył dużo tych wyznaczników (gdzie moja powierchnia chyba nie jest dana parametrycznie) to i tak otrzymam tylko jedną krzywiznę.

Jak to ugryźć? Jaki wzór mi umknął?

Wiem, że ostatecznie będę liczył K = k_1 * k_2, H=  \frac{1}{2} (k_1 + k_2) gdzie jednak w polskim internecie znalazłem inny wzór na średnią, gdzie tylko sumujemy krzywizny bez dzielenia ich na dwa, ale prędzej jestem gotów zaufać Wolframowi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2018, o 09:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6507
W tym zadaniu spostrzegawczość pozwala uniknąć czasochłonnych rachunków. Twoje obliczenia wykazały pewnie, że powierzchnia ma stałą (niezależną od wybranego punktu i kierunku) krzywiznę k= \frac{1}{4}, co dostałbyś od razu zauważając, że jest to sfera o promieniu 4 zapisana parametrycznie współrzędnymi sferycznymi.
Stąd wyliczasz:
K= \frac{1}{2} \left(  \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}  \right)= \frac{1}{4} \\
H=   \frac{1}{4} \cdot  \frac{1}{4}  \right)= \frac{1}{16}
lub wstawiasz promień do znanych (?) wzorków dla sfery:
K=  \frac{1}{r} \\
H= \frac{1}{r^2}

PS
Faktycznie, czasem K jest liczona jako k_1+k_2. Sprawdź którą wersję preferuje Twój wykładowca, i pisz pod niego.
Ponadto na egzaminie, zanim zaczniesz cokolwiek wyliczać, to zastanów się czy zadana powierzchnia nie jest czymś co ma oczywiste krzywizny główne (płaszczyzna,walec,sfera).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2018, o 09:21 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Warszawa
Tutaj chyba poproszę o większą pomoc. Fajnie, że można coś zauważyć jednak jak sam zauważyłeś mi to umknęło.

Jednak ja utknąłem na etapie wyliczania krzywizn głównych, nie mogłem znaleźć na to sposobu, a niestety na tym wykładzie mnie nie było (chociaż spisując notatki z zaległości też nic o tym nie zauważyłem).
Są na to jakieś wzory gdybym nie potrafił rozpoznać krzywizny po jej podanych parametrach?

O sferach nic nie mieliśmy zatem tutaj totalnie odpadam :) Z drugiej strony mówisz, że jest to sfera, w takim razie nie wiem co to zadanie robi jako proponowane na egzamin. Wszystko fajnie jakby łatwo było znaleźć o tym informację w internecie...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2018, o 10:24 
Użytkownik

Posty: 3479
Internet nie jest dobrym źródłem nauki międzyinnymi geometrii różniczkowej . Do tego służą podręczniki na przykład :

John Oprea. Geometria różniczkowa i jej zastosowania. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 2002.
czy
Cezary Bowszyc, Jerzy Konarski. Wstęp do Geometrii Różniczkowej. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa 2007.

x = 4\cos(u)\cos(v),

y = 4\sin(u)\cos(v),

z = 4\sin(v).

Mamy podaną parametryzację sfery o promieniu R = 4.

Jest kilka twierdzeń i związanych z nimi wzorów, które pozwalają wyznaczyć krzywiznę Gaussa K tej i nie tylko tej powierzchni. Na przykład Theorema Egregium.

Najprościej skorzystać z definicji krzywizny K Gaussa i definicji średniej krzywizny H , którą podałeś powyżej.


1.

Znajdujemy bazę wektorów pierwszej formy kwadratowej i jednostkowy wektor normalny do powierzchni sfery:

\vec{r}_{u}(u,v)=..., \ \  \vec{r}_{v}(u,v)=..., \ \ \vec{n}(u,v) = \frac{\vec{r}(u,v)}{R}=...,

2.

Znajdujemy operator odwzorowania (kształtu) Weingartena

S_{\vec{v}} =  -\partial_{\vec{v}}= - \partial_{\vec{v}}S,

dla bazy \vec{r_{u}} =  \partial_{u}, \ \  \vec{r_{v}} =  \partial_{v}:


S_{\vec{r}(u)} = - \partial_{u}\vec{n}(u,v) = -\partial_{u}\left(\frac{\vec{r}(u,v)}{R}\right)= - \left(\frac{ \partial _{u}\vec{r}(u,v)}{R}\right) = -\frac{\vec{r}_{u}}{R} (1)

S_{\vec{r}(v)} = - \partial_{v}\vec{n}(u,v) = -\partial_{v}\left(\frac{\vec{r}(u,v)}{R}\right)= - \left(\frac{ \partial _{v}\vec{r}(u,v)}{R}\right) = -\frac{\vec{r}_{v}}{R} (2)

Z (1) i (2) wynika, że operator kształtu:

S = - \frac{I}{R}

gdzie:

I jest operatorem identycznościowym.

Macierz tego operatora w bazie: \partial_{u}, \ \  \partial_{v}

S= -\left(\begin{matrix} \frac{1}{R}& \\ & \frac{1}{R}\end{matrix} \right).

W tym przypadku, jeśli wybierzemy przeciwny zwrot jednostkowego wektora normalnego powierzchni \vec{n}, to otrzymamy tę sam rezultat \vec{n} \rightarrow -\vec{n}, \ \ S \rightarrow -S.

3.

Określamy krzywizny główne jako wartości własne \lambda_{1}= \lambda_{2}= -\frac{1}{R} operatora krzywizny:

\kappa_{1}= \kappa_{2} = -\frac{1}{R}.

Uwzględniając znaki przeciwne : \lambda_{1}=\frac{1}{R}, \ \  \lambda_{2}= \frac{1}{R}, 
\ \  \kappa_{1}=\frac{1}{R}, \ \ \kappa_{2}= \frac{1}{R}.

4.

Określamy krzywiznę Gaussa:

K = \kappa_{1}\cdot \kappa_{2} = \det(S) =\frac{1}{R}\cdot \frac{1}{R}= \frac{1}{R^2}.

5.

Określamy krzywiznę średnią sfery jako połowę śladu macierzy operatora kształtu Weingartena:

H =  \frac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2} = \frac{1}{2}Tr (S) = - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\right) = -\frac{1}{R}.

Zauważmy, że krzywizna główna (Gaussa) powierzchni sfery nie zmienia znaku przy zmianie zwrotu jednostkowego wektora normalnego powierzchni, zaś krzywizna średnia zmienia znak z H na -H = \frac{1}{R}.

Uwaga

Niektórzy autorzy podręczników podają definicję krzywizny średniej powierzchni, jako sumę (nie średnią arytmetyczną) wektorów głównych:

H = \kappa_{1}+\kappa_{2}.

H sfery przyjmujemy wówczas wartość \frac{2}{R}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Krzywizna spirali  BigPaws  2
 krzywizna krzywej - zadanie 5  agata126  0
 krzywizna i okrąg ściśle styczny do krzywej  Minnie_  0
 Krzywizna Gaussa  lewis83  0
 promienie główne elipsoidy , krzywizna Gaussa i średnia  roman11d  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl