Krzywizna Gaussa i średnia

No i w końcu utknąłem totalnie na ostatnim zadaniu, nie wiem jak je ugryźć, podręcznik nic o tym nie ma, a materiałów w internecie jak na lekarstwo.

Najpierw polecenie:
Wyznacz krzywiznę Gaussa i krzywiznę średnią powierzchni daną równaniami:




Wiem, że do obu tych rzeczy muszę znaleźć krzywizny główne .

I z ich wyznaczeniem mam problem. Wiem jak się wyznacza krzywizny dane parametrycznie, ale nawet jakbym tutaj policzył dużo tych wyznaczników (gdzie moja powierchnia chyba nie jest dana parametrycznie) to i tak otrzymam tylko jedną krzywiznę.

Jak to ugryźć? Jaki wzór mi umknął?

Wiem, że ostatecznie będę liczył gdzie jednak w polskim internecie znalazłem inny wzór na średnią, gdzie tylko sumujemy krzywizny bez dzielenia ich na dwa, ale prędzej jestem gotów zaufać Wolframowi.

W tym zadaniu spostrzegawczość pozwala uniknąć czasochłonnych rachunków. Twoje obliczenia wykazały pewnie, że powierzchnia ma stałą (niezależną od wybranego punktu i kierunku) krzywiznę , co dostałbyś od razu zauważając, że jest to sfera o promieniu 4 zapisana parametrycznie współrzędnymi sferycznymi.
Stąd wyliczasz:

lub wstawiasz promień do znanych (?) wzorków dla sfery:


PS
Faktycznie, czasem K jest liczona jako . Sprawdź którą wersję preferuje Twój wykładowca, i pisz pod niego.
Ponadto na egzaminie, zanim zaczniesz cokolwiek wyliczać, to zastanów się czy zadana powierzchnia nie jest czymś co ma oczywiste krzywizny główne (płaszczyzna,walec,sfera).

Tutaj chyba poproszę o większą pomoc. Fajnie, że można coś zauważyć jednak jak sam zauważyłeś mi to umknęło.

Jednak ja utknąłem na etapie wyliczania krzywizn głównych, nie mogłem znaleźć na to sposobu, a niestety na tym wykładzie mnie nie było (chociaż spisując notatki z zaległości też nic o tym nie zauważyłem).
Są na to jakieś wzory gdybym nie potrafił rozpoznać krzywizny po jej podanych parametrach?

O sferach nic nie mieliśmy zatem tutaj totalnie odpadam Z drugiej strony mówisz, że jest to sfera, w takim razie nie wiem co to zadanie robi jako proponowane na egzamin. Wszystko fajnie jakby łatwo było znaleźć o tym informację w internecie...

Internet nie jest dobrym źródłem nauki międzyinnymi geometrii różniczkowej . Do tego służą podręczniki na przykład :

John Oprea. Geometria różniczkowa i jej zastosowania. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 2002.
czy
Cezary Bowszyc, Jerzy Konarski. Wstęp do Geometrii Różniczkowej. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa 2007.







Mamy podaną parametryzację sfery o promieniu

Jest kilka twierdzeń i związanych z nimi wzorów, które pozwalają wyznaczyć krzywiznę Gaussa tej i nie tylko tej powierzchni. Na przykład Theorema Egregium.

Najprościej skorzystać z definicji krzywizny Gaussa i definicji średniej krzywizny , którą podałeś powyżej.


1.

Znajdujemy bazę wektorów pierwszej formy kwadratowej i jednostkowy wektor normalny do powierzchni sfery:



2.

Znajdujemy operator odwzorowania (kształtu) Weingartena



dla bazy


(1)

(2)

Z (1) i (2) wynika, że operator kształtu:



gdzie:

jest operatorem identycznościowym.

Macierz tego operatora w bazie:



W tym przypadku, jeśli wybierzemy przeciwny zwrot jednostkowego wektora normalnego powierzchni to otrzymamy tę sam rezultat

3.

Określamy krzywizny główne jako wartości własne operatora krzywizny:



Uwzględniając znaki przeciwne :

4.

Określamy krzywiznę Gaussa:



5.

Określamy krzywiznę średnią sfery jako połowę śladu macierzy operatora kształtu Weingartena:



Zauważmy, że krzywizna główna (Gaussa) powierzchni sfery nie zmienia znaku przy zmianie zwrotu jednostkowego wektora normalnego powierzchni, zaś krzywizna średnia zmienia znak z na

Uwaga

Niektórzy autorzy podręczników podają definicję krzywizny średniej powierzchni, jako sumę (nie średnią arytmetyczną) wektorów głównych:



sfery przyjmujemy wówczas wartość