Internet nie jest dobrym źródłem nauki międzyinnymi geometrii różniczkowej . Do tego służą podręczniki na przykład :
John Oprea. Geometria różniczkowa i jej zastosowania. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 2002.
czy
Cezary Bowszyc, Jerzy Konarski. Wstęp do Geometrii Różniczkowej. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa 2007.



Mamy podaną parametryzację sfery o promieniu

Jest kilka twierdzeń i związanych z nimi wzorów, które pozwalają wyznaczyć krzywiznę Gaussa

tej i nie tylko tej powierzchni. Na przykład
Theorema Egregium.Najprościej skorzystać z definicji krzywizny

Gaussa i definicji średniej krzywizny

, którą podałeś powyżej.
1. Znajdujemy bazę wektorów pierwszej formy kwadratowej i jednostkowy wektor normalny do powierzchni sfery:
2.Znajdujemy
operator odwzorowania (kształtu) Weingartena 
dla bazy


(1)

(2)
Z (1) i (2) wynika, że operator kształtu:

gdzie:

jest operatorem identycznościowym.
Macierz tego operatora w bazie:

W tym przypadku, jeśli wybierzemy przeciwny zwrot jednostkowego wektora normalnego powierzchni

to otrzymamy tę sam rezultat
3.Określamy krzywizny główne jako wartości własne

operatora krzywizny:

Uwzględniając znaki przeciwne :
4.Określamy krzywiznę Gaussa:
5.Określamy krzywiznę średnią sfery jako połowę śladu macierzy operatora kształtu Weingartena:

Zauważmy, że krzywizna główna (Gaussa) powierzchni sfery nie zmienia znaku przy zmianie zwrotu jednostkowego wektora normalnego powierzchni, zaś krzywizna średnia zmienia znak z

na
UwagaNiektórzy autorzy podręczników podają definicję krzywizny średniej powierzchni, jako sumę (nie średnią arytmetyczną) wektorów głównych:

sfery przyjmujemy wówczas wartość