szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 wrz 2018, o 12:02 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Brak
Niech ciąg będzie zdefiniowany rekurencyjnie przez a_1 = 1, a_2 = 7 oraz a_{n+2} = 6a_{n+1}-a_{n}dla każdego n>0 naturalnego. Wyznacz wszystkie wartości n dla których istnieje całkowite k takie że a_n = 2k^2+1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2018, o 10:56 
Użytkownik

Posty: 71
Lokalizacja: Lublin
Mamy taki ciąg:

a_{1} = 1 \\
 a_{2} = 7 \\
 a_{3} = 41

Przy pomocy funkcji tworzących możemy zapisać ciąg w postaci jawnej:

a_{n} = \frac{1}{2}\left( \left( 1+\sqrt{5}\right)^{2n-1} + \left( 1-\sqrt{5}\right)^{2n-1} \right)

teraz

a_{n} = 2k^{2} + 1

\frac{1}{2}\left( \left( 1+\sqrt{5}\right)^{2n-1} + \left( 1-\sqrt{5}\right)^{2n-1} \right) = 2k^{2} + 1

\left( 1+\sqrt{5}\right)^{2n-1} + \left( 1-\sqrt{5}\right)^{2n-1}= 4k^{2} + 2

Zauważmy, że n=1, k=0 jest poprawnym rozwiązaniem.

Zauważmy też, że dla k  \neq  0 mamy:

4k^{2} + 2 \equiv 2 \pmod{4}

zaś po lewej stronie mamy:

\frac{\left( 1+\sqrt{5}\right)^{2n}}{1+\sqrt{5}}  +  \frac{\left( 1-\sqrt{5}\right)^{2n}}{1-\sqrt{5}}

\frac{\left( 2 \cdot \left( 3+\sqrt{5}\right)\right)^{n}  }{1+\sqrt{5}} + \frac{\left( 2 \cdot \left( 3-\sqrt{5}\right)\right)^{n}  }{1-\sqrt{5}}

2^{n} \cdot \left( \frac{\left( 3+\sqrt{5}\right)^{n} }{1+\sqrt{}5} +  \frac{\left( 3-\sqrt{5}\right)^{n} }{1-\sqrt{}5}\right)

Jednocześnie dla n > 1 mamy:

2^{n} \cdot \left( \frac{\left( 3+\sqrt{5}\right)^{n} }{1+\sqrt{}5} + \frac{\left( 3-\sqrt{5}\right)^{n} }{1-\sqrt{}5} \right) \equiv 0 \pmod{4}

Co udowadnia, że nie ma innych rozwiązań.

Przekształcenie a_{n} w postać jawną zostawiam Tobie:

Jak to zrobić

zaś ja skorzystałem z tego, że ktoś już tego dokonał:

tutaj
i tutaj

i tylko przesunąłem gdyż wzór jest dla:

a_{0} = 1 \\
 a_{1} = 7

PS. Skąd dostajesz takie ciekawe zadania? :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2018, o 13:33 
Użytkownik

Posty: 12660
A dlaczegóż to
\frac{\left( 3+\sqrt{5}\right)^{n} }{1+\sqrt{5}} + \frac{\left( 3-\sqrt{5}\right)^{n} }{1-\sqrt{5}}
jest liczbą całkowitą? Moim zdaniem z tego się należy wytłumaczyć (i chyba tutaj nie można się z tego wytłumaczyć…).
Swoją drogą jak na moje oko wszystkie wyrazy tego ciągu są nieparzyste (zatem po pomnożeniu przez 2 będą postaci 4m+2 właśnie), gdyż z równania rekurencyjnego a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n wynika, że a_{n+2}\equiv a_n\pmod{2} dla każdego n, więc jakoś powątpiewam w poprawność tego rozwiązania (tj. wzór jawny wygląda OK, ale dalsze wnioskowanie z niego jak wyżej chyba jest niepoprawne).

A oto podejście bez wzorów jawnych:
niech b_n= \frac{a_n-1}{2} i pytamy, dla jakich n\in \NN^+ wyrazy ciągu (b_n) są kwadratami liczb całkowitych.
Mamy a_1=1, \ a_2=7, czyli b_1=0, \ b_2=3 (od razu odnotujmy, że b_1 spełnia warunki zadania, b_2 ich nie spełnia).
Ponadto
a_{n+2}=6a_{n+1}-a_{n} \Leftrightarrow 2b_{n+2}+1=6(2b_{n+1}+1)-(2b_{n}+1) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow b_{n+2}=6b_{n+1}-b_n+2.
Zauważmy, że nie może być b_n\equiv 1\pmod{3}. Przypuśćmy nie wprost, że jest inaczej i niech n_0=\min\left\{ n\in \NN^+: b_n\equiv 1\pmod{3}\right\}. Oczywiście n_0>2. Mamy wówczas
b_{n_0}=6b_{n_0-1}-b_{n_0-2}+2. Ponieważ 3|6b_{n_0-1}, więc -b_{n_0-2}+2\equiv 1\pmod{3}, czyli b_{n_0-2}\equiv 1\pmod{3}, sprzeczność z minimalnością n_0.
Jeżeli zaś b_{n}\equiv 0\pmod{3}, to b_{n+2}\equiv 2\pmod{3}, czyli
b_{n+2} nie może być kwadratem liczby całkowitej. Natomiast jeśli b_{n}\equiv 2\pmod{3}, to 3 | b_{n+2}, więc aby b_{n+2} było kwadratem, musiałoby zajść 9|b_{n+2}.
To jednak nie jest możliwe dla n>3, gdyż wówczas
b_{n+2}=6b_{n+1}-b_n+2=6(6b_n-b_{n-1}+2)-b_n+2\equiv 5-b_n-6b_{n-1}\pmod{9}
i wystarczy rozważyć kilka prostych przypadków:
a) b_n\equiv 2\pmod{9}
b) b_n\equiv 5\pmod{9}
c) b_n\equiv 8\pmod{9}
Natomiast dla n=3 też warunki zadania nie są spełnione, gdyż oczywiście b_3=20 nie jest kwadratem liczby całkowitej.

Ostatecznie rzeczywiście wychodzi n=1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2018, o 14:57 
Użytkownik

Posty: 71
Lokalizacja: Lublin
No przecież napisałem to co Ty - że będą parzyste. Właśnie na tym polega moje wnioskowanie, ze mamy dwie parzystości - jedna dzieli się przez cztery (0 \mod 4), a druga nie (2 \mod 4) dla dowolnego n > 1. To jest istotna część mojego wnioskowania, a nie problem.

Drugi zarzut co do całkowitości sumy tych ułamków jest bardziej celny. Przyznaję... ja nie umiem tego udowodnić (chociaż podstawiając kolejne n widzimy, że są to liczby całkowite), ale jest to udowodniony fakt:

patrz tutaj

Wystarczy sprowadzić do wspólnego mianownika, wyciągnąć 4 z mianownika przed nawias, rozpatrzeć 2^{n-2} dla każdego n>3 by otrzymać wspomniany na tej stronie wzór tego ciągu:

a(n) = ((1+sqrt(5))*(3+sqrt(5))^n + (1-sqrt(5))*(3-sqrt(5))^n)/2

(brak LaTeXa tutaj celowy - gdyż właśnie tak podany wzór widnieje na tej stronie)

więc "(i chyba tutaj nie można się z tego wytłumaczyć…)" nie zachodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2018, o 22:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6555
Co do ciągu, to mam trochę inaczej. Nawet wczoraj to wstawiłem, ale skasowałem gdyż nie odpowiadało na pytanie o k.
x^2-6x+1=0\\
x_1= 3-2 \sqrt{2}  \vee  x_2=3+2 \sqrt{2} \\
a_n=A( 3-2 \sqrt{2})^{n}+B(3+2 \sqrt{2} )^{n}
\begin{cases} 1=A( 3-2 \sqrt{2})^1+B(3+2 \sqrt{2} )^1 \\ 
7=A( 3-2 \sqrt{2})^2+B(3+2 \sqrt{2} )^2 \end{cases}
a_n= \frac{-1- \sqrt{2} }{2} ( 3-2 \sqrt{2})^{n}+\frac{-1+ \sqrt{2} }{2}(3+2 \sqrt{2} )^{n}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ciąg rekurencyjny - zadanie 20  wibajaku  2
 Ciag rekurencyjny - zadanie 32  leg14  1
 ciąg rekurencyjny - zadanie 24  kkasia559  7
 ciąg rekurencyjny - zadanie 38  alfred0  0
 ciąg rekurencyjny - zadanie 4  robin5hood  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl