szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 wrz 2018, o 13:30 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Krasnystaw
Dla jakich wartości parametru m równanie
mx^{2}-(m-3)x+1=0
ma różne pierwiastki x_{1}, x_{2} spełniające warunek |x_{1}|+|x_{2}| \le 1?

Czy jest jakiś prosty sposób na przekształcenie tej nierówności?
Próbowałem obliczyć te pierwiastki i wstawić je do nierówności, a potem rozpatrywać przypadki, ale jest to jakieś karkołomne.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 wrz 2018, o 15:19 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Śląsk
Może robię gdzieś jaki głupi błąd, ale przyszło mi do głowy coś takiego. Spróbujmy od razu rozpatrywać przypadki w warunku : |x_1|+|x_2|\leq 1.
1)  x_1+x_2\leq 1 \quad\wedge\quad x_1\cdot x_2\geq 0  \quad\wedge\quad x_1+x_2 \geq 0\\
2) x_1+x_2\geq -1  \quad\wedge\quad x_1\cdot x_2\geq 0  \quad\wedge\quad x_1+x_2 <0\\
3)  |x_1-x_2| \leq 1  \quad\wedge\quad x_1\cdot x_2 <0
Warunki te opisują wszystkie możliwości rozpisania wartości bezwzględnych z zadanego warunku, a to kiedy x_1, x_2 są większe bądź równe zero, czy mniejsze, czy mają różne znaki zostało zakodowane przez dodatkowe warunki z użyciem wzorów Viete'a.
Dwa pierwsze prosto jest policzyć. Co do trzeciego mamy:
|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1\cdot x_2}
Do tego oczywiście standardowe warunki na istnienie dwóch różnych pierwiastków równania kwadratowego.
Dalej trzeba się trochę naliczyć, ale chyba mniej niż wyliczając wprost x_1, x_2. Jeżeli gdzieś się mylę, proszę mnie poprawić :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 wrz 2018, o 16:12 
Administrator

Posty: 23668
Lokalizacja: Wrocław
Myślę, że prościej jest podnieść nierówność |x_{1}|+|x_{2}| \le 1 obustronnie do kwadratu (ze względu na nieujemność obu stron jest to przejście równoważne) i dostać

1\ge \left( |x_{1}|+|x_{2}|\right)^2=x_1^2+x^2_2+2|x_1x_2|=\left( x_1+x_2\right)^2- 2x_1x_2+2|x_1x_2|=\\= \left( \frac{m-3}{m}\right)^2+2\left(  \frac{1}{|m|}-  \frac{1}{m} \right).

Wcześniej powinniśmy sprawdzić, że m\in(-\infty,0)\cup (0,1)\cup(9,+\infty), więc rozpatrujemy dwa przypadki:

1. m\in(-\infty,0)
Wtedy mamy nierówność

\left( m-3\right)^2-2m\le m^2.

2. m\in(0,1)\cup(9,+\infty)
Wtedy mamy nierówność:

\left( m-3\right)^2\le m^2.

Obie nierówności są liniowe, więc proste.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 wrz 2018, o 16:34 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Krasnystaw
Jan Kraszewski napisał(a):
Myślę, że prościej jest podnieść nierówność |x_{1}|+|x_{2}| \le 1 obustronnie do kwadratu (ze względu na nieujemność obu stron jest to przejście równoważne)


Super rozwiązanie! W ten sposób redukuje się te bardzo nieprzyjemne przypadki!
Bardzo dziękuję.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz wszystkie liczby spełniające nierówność  Anonymous  3
 nierównośc kwadratowa  Anonymous  5
 rozwiąż nierówność...  niekumaty  6
 Nierówność z pierwiastkami  Anonymous  3
 Nierówność kwadratowa z parametrem.  judge00  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl