szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 wrz 2018, o 17:34 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Polska
Hej poszukuje pomocy, muszę jakoś wykazać, że funkcja h(\alpha)=t^{\alpha}-\alpha t^{\alpha}\ln{t}-1 gdzie t>0 jest stale mniejsza od zera. Policzyłam juz 1 i 2 pochodną jakby to komuś coś ułatwiło ale nie do końca wiem jak to zastosować. Bardzo liczę na waszą szybką pomoc :)

h'(\alpha) = - \alpha t^{ \alpha }\ln^2 t

h''( \alpha ) = - t^{ \alpha }\ln^2 t ( \alpha \ln t + 1 )

oczywiście mam nadzieje, że pochodne są policzone dobrze :P
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 wrz 2018, o 18:41 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Śląsk
Druga pochodna, według mnie, nie jest nam potrzebna. Wystarczy pierwsza. Wiemy, że gdy h'(x) >0 to funkcja h rośnie. Gdy h'(x) <0 to funkcja h maleje. Jeżeli natomiast h'(x_0)=0 to w punkcie x_0 może być ekstremum.

Przeanalizuj pochodną funkcji h(\alpha) w ten sposób. Być może funkcja ma jedno ekstremum? Jakie? Jaka jest wartość funkcji w tym ekstremum? Jak zachowuje się funkcja po za otoczeniem tego ekstremum?

PS: Wyszło mi, że funkcja ta jest stale mniejsza lub równa zero.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2018, o 18:49 
Użytkownik

Posty: 12935
Dla dowolnego x\in \RR mamy:
e^x\ge 1+x
(dowód zostawiam jako proste ćwiczenie, jest to też bardzo znana nierówność).
Dla x>-1 możemy zlogarytmować tę nierówność stronami (gdyż \ln v jest funkcją rosnącą), co daje:
x\ge \ln(1+x)
Teraz podstawmy u=1+x, wtedy skoro x>-1, to u>0, a nierówność przyjmuje postać:
u-1\ge \ln u\\ u-\ln u\ge 1
Podstawmy teraz u=t^{-\alpha}, \ t>0, co daje nam
t^{-\alpha}+\alpha\ln t \ge 1
Pomnóżmy teraz stronami przez dodatnie dla t>0 wyrażenie t^{\alpha}
i otrzymujemy po banalnych przekształceniach:
1\ge t^{\alpha}-\alpha t^{\alpha}\ln t
co jest równoważne tezie zadania.
Aha, nierówność z zadania jest nieostra, warunek równości w nierówności e^x\ge 1+x (tylko dla x=0, co odpowiada t^{-\alpha}-1=0) daje nam, że równość zajdzie dla t=1, niezależnie od \alpha, a także dla \alpha=0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2018, o 18:52 
Użytkownik

Posty: 709
Jeśli masz na myśli \alpha \in \RR to nie jest to prawda.
Weźmy t=1 wtedy h(\alpha)=0

-- 23 wrz 2018, o 20:00 --

...a nie doczytałem, właśnie Premislav to napisał
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Sprawdź, czy podana nierówność jest prawdziwa  Anonymous  2
 Czy prawdą jest, że log_{3}4 > log_{5}8 ?  Anonymous  2
 Dla jakiego n spełnione jest równanie...  tyras  7
 Sprawdź, która liczba jest większa  metamatyk  3
 Która liczba jest większa ? - zadanie 2  Ciapanek  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl