szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 wrz 2018, o 19:28 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Wrocław
Witam. Chciałabym prosić o pomoc, otóż mam problem z wyznaczeniem obrazu następującego obszaru:
(+,+) przy takiej homografii w=\frac{(z-i)}{(z+i)}.

Nie potrafię sobie poradzić z przekształceniem brzegu, żeby zobaczyć czy przechodzi na okrąg czy na prostą przy tej homografii. Prosiłabym o pomoc i jakieś wskazówki jak się za to zabrać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 wrz 2018, o 21:07 
Użytkownik

Posty: 4139
w(z) = \frac{z-i}{z+i}.

Homografie to odwzorowania zachowujące kąty.

Ogólna postać homografii:

w(z) = \frac{az +b}{cz + d}, \ \ a, b, c, d, \in \CC, \ \ c\neq 0,  \ \ ad - bc \neq 0.

Uwzględnimy najpierw obraz całej górnej otwartej półpłaszczyzny. Zauważmy, że dla z\in (+ , +)

|w(z)| = \left|\frac{z-i}{z- (-i)}\right|< 1,

bo

|z -i|< |z - (-i)|,

tzn. z leży bliżej punktu i niż -i.

Stąd wynika, że cały obraz odwzorowania zawiera się w otwartej kuli jednostkowej o środku w punkcie 0.

Udowodnimy, że obrazem w tym przekszałceniu jest istotnie cała kula K(0,1).

To znaczy, że dla dowolnego punktu x +iy \in K(0,1)

w(a +bi) = x + iy.

Niech x +iy \in K(0,1) - szukamy obrazu punktu a +ib.

\frac{a +(b-1)i}{a +(b+1)i} = x +iy.

Stąd

a + (b-1)i = (x+iy)( a + (b+1)i)

a +(b-1)i = xa - y(b+1) + [ya + x(b+1)]i

Otrzymujemy układ równań:

\left\{ \begin{matrix} a = xa -y(b+1)\\  b-1 = ya +x(b+1) \end{matrix}\right.

Z pierwszego równania:

a = \frac{(b+1)y}{x - 1} (*)

Podstawiając do równania drugiego:

b-1 = \frac{(b+1)y^2}{x-1} + x(b+1)

b\left( 1 -\frac{y^2}{x-1} -x \right) = 1 + \frac{y^2}{x-1}+ x

b\frac{-(x-1)^2 -y^2}{x-1} = \frac{x^2+y^2-1}{x-1}

b = \frac{1 - (x^2 +y^2)}{(x-1)^2 +y^2}

Podstawiając do (*):

a =\left(1 +\frac{1- (x^2+y^2)}{(x-1)^2 +y^2}\right)\frac{y}{x-1} = \left(\frac{x^2-2x+1+y^2+1 -x^2-y^2}{(x-1)^2+y^2}\right)\frac{y}{x-1}=\\ = \frac{-2y}{(x-1)^2+y^2}.

Proszę sprawdzić.

\left\{ \begin{matrix} a =\frac{-2y}{(x-1)^2+y^2}\\  b = \frac{1-(x^2 +y^2)}{(x-1)^2 +y^2}\end{matrix}\right.

Zauważmy, że dla x+iy \in K(0,1) mamy b>0 oraz w(a+bi) = x+yi.


Jeśli a>0 to y < 0.

Obrazem pierwszej ćwiartki płaszczyzny Gaussa jest dolna półkula.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obraz zbioru - zadanie 9  karolcia_23  2
 Obraz funkcji holomorficznej  leg14  1
 Znaleźć pochodną funkcji - zadanie 5  Moniak137  2
 Znaleźć funkcję holomorficzną - zadanie 3  legolas  1
 Obraz koła w homografii  balbina1991  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl