szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 wrz 2018, o 10:36 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Wrocław
Witam. Mam dany wzór

z^{*}=a+\frac{r^{2}}{\overline z - \overline a}

I mam wykazać, że

z^{*}-a=\frac{r^{2}}{\overline z - \overline a}

Wiem, że punkty symetryczne względem okręgu posiadają następujące własności

1.|z^{*}-a||z-a|=r^{2}

2.arg(z-a)=arg(z^{*}-a)

Wiem również, że z można zapisać jako z=|z|e^{iargz} oraz że arg(\overline {z-a})=-arg(z-a).

Ale mimo to dalej nie potrafię sobie z tym poradzić. Prosiłabym o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2018, o 12:40 
Użytkownik

Posty: 4139
Wystarczy dodać stronami - a.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 wrz 2018, o 14:56 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Wrocław
Muszę wykazać, że lewa strona równa się prawej korzystając z własności. Nie wystarczy że dodam stronami -a.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2018, o 16:32 
Użytkownik

Posty: 4139
Proszę Pani

To jest równoważny zapis.

To jest tak samo jak:

5 = 2 +3

5 - 2 = 3.

Proszę podać, skąd pochodzi to zadanie?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 wrz 2018, o 17:45 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Wrocław
Oryginalna treść zadnia brzmi tak:

Wykazać, że jeśli punkt z^* jest symetryczny do punktu z względem okręgu C(a,r), gdzie a to środek okręgu, r to promień, to z^*=a+\frac{r^2}{\overline z - \overline a}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2018, o 19:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1904
Lokalizacja: hrubielowo
Tu chodzi o inwersje punktu z względem okręgu C(a,r). Trzeba wyprowadzić wzór na z^* i korzystasz z definicji inwersji. Warunek
Cytuj:
|z^{*}-a||z-a|=r^{2}
określa że iloczyn odległości jest stały i równy r^2, a warunek
Cytuj:
\arg(z-a)=\arg(z^{*}-a)
mówi o tym że punkty a,z,z^* leżą na jednej prostej.
Warunki te równoważnie wypowiedzieć można słowami geometrii analitycznej. Niech

a=\left( a_x,a_y\right)

z=(x,y)

z^*=(x^*,y^*)

wtedy obrazem (x,y) jest (x^*,y^*) a wzory na poszczególne składowe wyprowadzimy rozwiązując układ równań

\begin{cases}\text{iloczyn odległości jest równy} \ r^2 \\ \text{punkty leżą na wspólnej prostej} \end{cases} \  \Leftrightarrow \  \begin{cases} \left(x-a_x \right)\left( x^*-a_x\right)+\left(y-a_y \right)\left( y^*-a_y\right)=r^2 \\  \left( x-a_x\right)\left( y^*-a_y\right)-\left( x^*-a_y\right)\left( y-a_y\right) =0   \end{cases}

Równanie (1) wynika z iloczynu skalarnego a równanie (2) jest konsekwencją liniowej zależności odpowiednich wektorów lub jako ktoś woli patrzeć na to geometrycznie to można policzyć pole trójkąta rozpiętego na tych wektorach i przyrównać je do zera by narzucić współliniowość. Rozwiązaniem tego układu powinna być para liczb (x^*,y^*)

x^*=a_x+ \frac{r^2\left( x-a_x\right)}{\left( x-a_x\right)^2+\left( y-a_y\right)^2  }

y^*=a_y+ \frac{r^2\left(y-a_y\right)}{\left( x-a_x\right)^2+\left( y-a_y\right)^2  }

trzeba teraz sprawić że lewa strona równa się prawej:

a+\frac{r^2}{\overline z - \overline a}=a_x+ia_y+\frac{r^2}{x-iy - a_x+ia_y}

A po pomnożeniu przez sprzężenie i uporządkowaniu części rzeczywistej i urojonej mamy

a+\frac{r^2}{\overline z - \overline a}={\blue{a_x+ \frac{r^2\left( x-a_x\right)}{\left( x-a_x\right)^2+\left( y-a_y\right)^2  }}}+i\left( {\red{a_y+ \frac{r^2\left(y-a_y\right)}{\left( x-a_x\right)^2+\left( y-a_y\right)^2  }}}\right)

a to jest

a+\frac{r^2}{\overline z - \overline a}=x^*+iy^*=z^*

Co należało dowieść.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2018, o 22:00 
Użytkownik

Posty: 4139
To co innego.

Można uwzględnić przekształcenie antygraficzne (antygrafię):

a(z) = \frac{a\overline{z} +b}{c\overline{z}+d} dla z\neq \infty},\ \ a(\infty})=\frac{a}{c},\ \ ad-bc \neq 0

Dla symetrii (odbicia) względem okręgu C( a, r) o środku w punkcie a i promieniu r:

a(z) = i\frac{z - a -r}{z - a + r} prostej \gamma na oś Re

( a +r \rightarrow 0, \ \ a -r \rightarrow \infty, \ \ a - ir \rightarrow 1).

Można bardziej elementarnie skorzystać z równania prostej, względem której punkty p, q są symetryczne \lambda =1.

\left | \frac{z - p}{z- q}\right| = \lambda

I dla każdego \lambda >0, \ \  \lambda \neq 1 pomnożyć je przez |z- q | oraz podnieść do kwadratu i zastosować wzór:

|a-b|^2 = |a|^2 +|b|^2 - 2 Re (\overline{a}b).

Patrz na przykład:

Franciszek Leja. Funkcje zespolone. Wyd.4 strony 35-36. PWN Warszawa 1977.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżność na okręgu  NogaWeza  1
 Całka po okręgu (0,2).  Ktoscoscos  5
 Wzór całkowy Cauchy’ego dla okręgu zorientowany ujemnie.  Wilczan  2
 Całka po okręgu - zadanie 4  alla2012  4
 Znaleźć punkty zerowe i zbadać ich krotność.  insanis  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl