szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2018, o 08:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 351
Grupa (G, \diamond ) ma skończenie wiele elementów i \diamond nie jest przemienne. Pokaż, że G ma minimum 6 elementów.

Próbuje to udowodnić, sprawdzając kolejno dla liczebności równej 0 1 2 ... Że nie spełniają aksjomatów grupy, lecz nie zupełnie mi to nie idzie..
Czy jakaś dobra dusza mogłaby pomóc zielonemu w temacie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2018, o 09:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4977
Lokalizacja: Kraków
Przykładowo, jeśli G ma 5 elementów, to z tw. Lagrange'a każdy jej element ma rząd 1 lub 5. Skoro istnieje tylko jeden element rzędu 1 w G to istnieje element x\in G o rzędzie 5.

Wtedy e,x,x^2,x^3,x^4 to parami różne elementy w G, a zatem G=\{e,x,x^2,x^3,x^4\}. Innymi słowy G jest izomorficzna z grupą cykliczną rzędu 5. Łatwo zatem widać że działanie jest przemienne gdyż

x^n \cdot x^k = x^{n+k} = x^k \cdot x^n.

Podobnie można to zrobić dla grup trzyelementowych i dwuelementowych. Jedyny nietrywialny przypadek to |G|=4. Wtedy trzeba rozważyć dwa przypadki: albo G posiada element rzędu 4 albo nie posiada...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2018, o 09:04 
Użytkownik

Posty: 15651
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ćwiczenie

Pokaż, że jest tylko jedna grupa rzędu 1,2,3,5 i wszystkie sa przemienne (to jest proste)
Pokaż, że są tylko dwie grupy rzedu 4 i obie są przemienne (to jest tylko troszeczkę skomplikowane
Pokaż, że istnieje grupa rzędu 6, która nie jest abelowa (popatrz na trójkąt)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2018, o 09:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 351
A czy da się to zrobić bez pojęcia rzędu? Są to pierwsze zajęcia i nic z tego nie mieliśmy wprowadzane więc podejrzewam, że da się to ominąć
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2018, o 09:10 
Użytkownik

Posty: 15651
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie sądzę, żeby na pierwszych zajęciach nie było pojęcia rzędu grupy i rzędu elementu. NO chyba, że zajęcia trwały 30 minut :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2018, o 16:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 351
a4karo napisał(a):
Nie sądzę, żeby na pierwszych zajęciach nie było pojęcia rzędu grupy i rzędu elementu. NO chyba, że zajęcia trwały 30 minut :)

Nie trwały a jednak nie było :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2018, o 19:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 562
Lokalizacja: somewhere
Potrafiłbyś pokazać, że każda grupa rzędu p (czyli liczności p), gdzie p jest liczbą pierwszą, jest izomorficzna z \mathbb Z_p ? Ta ostatnia jest oczywiście abelowa jako cykliczna
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rząd elementów grupy - zadanie 2  wredna8888  2
 Pokaż że permutacja jest parzysta..  raphel  1
 Dwa podobne zadania - ilosc elementow danego rzedu  relic  1
 rząd grupy i jej elementów  snd0cff  4
 Pokaż, że k jest podgrupą (G,*)  dzejkej  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl