szukanie zaawansowane
 [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 14:24 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7838
Lokalizacja: Wrocław
Hej. Prosiłbym o rozwiązanie równania

(x-3)^{x+2} = 1

w liczbach rzeczywistych.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 14:31 
Użytkownik

Posty: 15355
Lokalizacja: Bydgoszcz
Kiedy liczba podniesiona do jakiejkolwiek potęgi jest równa 1?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 526
Lokalizacja: somewhere
Myślę, że \left\{ 4, -2\right\} jest oczywistym podzbiorem zbioru rozwiązań.
Pytanie, czy są to jedyne liczby spełniające równanie
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 14:35 
Administrator

Posty: 22916
Lokalizacja: Wrocław
No niekoniecznie. Pytanie jest, jak ustalamy dziedzinę tego równania, a od tego należałoby zacząć.

JK

PS
W zdaniu
karolex123 napisał(a):
Myślę, że podzbiór \left\{ 4, -2\right\} jest oczywistym podzbiorem zbioru rozwiązań.
coś za dużo tych podzbiorów jest...
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 14:42 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7838
Lokalizacja: Wrocław
Jan Kraszewski napisał(a):
Pytanie jest, jak ustalamy dziedzinę tego równania, a od tego należałoby zacząć.
I w tym właśnie jest sęk!

No więc jak ustalić dziedzinę tego równania?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 15:38 
Użytkownik

Posty: 526
Lokalizacja: somewhere
Jan Kraszewski napisał(a):
No niekoniecznie. Pytanie jest, jak ustalamy dziedzinę tego równania, a od tego należałoby zacząć.


Jak więc interpretować pogrubiony napis:
Dasio11 napisał(a):
Hej. Prosiłbym o rozwiązanie równania

(x-3)^{x+2} = 1

w liczbach rzeczywistych.
?
Chodzi (w kwestii dziedziny) o maksymalny (w sensie inkluzji zbiorów) podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie po lewej stronie równania ma sens? A może o coś innego? Być może to tylko sygnał, że dziedzina ma być jakimś tam podzbiorem prostej, czego tak niestety nie odebrałem. Proszę wybaczyć, jeśli źle zinterpretowałem ów napis
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 16:17 
Użytkownik

Posty: 71
Lokalizacja: Edinburgh & Śląsk
karolex123 napisał(a):
Myślę, że \left\{ 4, -2\right\} jest oczywistym podzbiorem zbioru rozwiązań.
Pytanie, czy są to jedyne liczby spełniające równanie

No nie: (2-3)^{(2+2)}=1
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 16:47 
Użytkownik

Posty: 526
Lokalizacja: somewhere
_Michal, wstawiłeś do równania 2, a nie -2:
\left( -2-3\right)^{-2+2}=\left( -5 \right)^0  =1

-- 6 paź 2018, o 16:49 --

A przepraszam, teraz widzę co chciałeś przekazać :D
Do tego podzbioru możemy więc także dopisać 2 ;)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 18:47 
Użytkownik

Posty: 1586
Lokalizacja: Sosnowiec
W kwestii dziedziny: Powiedziałbym, że wyrażenie a^b ma sens wtedy i tylko wtedy, gdy

a>0, b\in\RR lub
a=0, b>0 lub
a<0, b\in\ZZ.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 18:51 
Użytkownik

Posty: 2284
Lokalizacja: Warszawa
Po chwili namysłu zgadłem rozwiązanie:

x=1

:)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 19:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1477
Lokalizacja: hrubielowo
Dilectus jak Ci wyszło 1?

To zadanie z cyklu w którym przyjęta dziedzina ma znaczenie. Uważam że ograniczanie się do x-3>0 i argumentowanie tego tym że jest to założenie funkcji wykładniczej jest błędem takim samym jak liczenie pochodnej x^x ze wzorów na funkcję wykładniczą. Funkcja po prawej wykładnicza nie jest dlatego rozpatrywał bym to innymi metodami (czyli kiedy wyrażanie ma sens). Uważam że rozwiązania to -2,2,4 bo każda z tych liczb podstawiona do równania ma "sensowne liczbowy" i spełnia równanie.

Ciekawszy mógł by być przykład z funkcją kwadratową w podstawie i wykładniku. Można dobrać to tak by wystawienie zera za wykładnik implikowało zero w podstawie albo coś w stylu. Albo podstawianie liczb do ujemnych niecałkowitych potęg... możliwości jest dużo.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 19:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6549
matmatmm napisał(a):
W kwestii dziedziny: Powiedziałbym, że wyrażenie a^b ma sens wtedy i tylko wtedy, gdy

a>0, b\in\RR lub
a=0, b>0 lub
a<0, b\in\ZZ.

Dlaczego dla a<0 odrzucasz wymierne b o nieparzystym mianowniku?


Inną kwestią jest (nie)uwzględnianie w dziedzinie a=1

Janusz Tracz napisał(a):
. Funkcja po prawej wykładnicza nie jest dlatego rozpatrywał bym to innymi metodami (czyli kiedy wyrażanie ma sens). Uważam że rozwiązania to -2,2,4 bo każda z tych liczb podstawiona do równania ma "sensowne liczbowy" i spełnia równanie. .

Tu dość łatwo stwierdzić kiedy wyrażanie ma sens, ale zwykle jest to kłopotliwe lub (prawie) niemożliwe. Co wtedy?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 1586
Lokalizacja: Sosnowiec
kerajs napisał(a):
matmatmm napisał(a):
W kwestii dziedziny: Powiedziałbym, że wyrażenie a^b ma sens wtedy i tylko wtedy, gdy

a>0, b\in\RR lub
a=0, b>0 lub
a<0, b\in\ZZ.

Dlaczego dla a<0 odrzucasz wymierne b o nieparzystym mianowniku?



Gdyż
-1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=\sqrt[6]{1}=1

Cytuj:
Inną kwestią jest (nie)uwzględnianie w dziedzinie a=1

Uwzględniłem.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 20:50 
Użytkownik

Posty: 2284
Lokalizacja: Warszawa
Dilectus napisał(a):
Po chwili namysłu zgadłem rozwiązanie:

x=\red{1}

To mój oczywisty błąd. Chciałem napisać, że x=4. Przepraszam.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Równanko
PostNapisane: 6 paź 2018, o 21:07 
Użytkownik

Posty: 15355
Lokalizacja: Bydgoszcz
matmatmm napisał(a):
kerajs napisał(a):
matmatmm napisał(a):
W kwestii dziedziny: Powiedziałbym, że wyrażenie a^b ma sens wtedy i tylko wtedy, gdy

a>0, b\in\RR lub
a=0, b>0 lub
a<0, b\in\ZZ.

Dlaczego dla a<0 odrzucasz wymierne b o nieparzystym mianowniku?



Gdyż
-1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=\sqrt[6]{1}=1

Cytuj:
Inną kwestią jest (nie)uwzględnianie w dziedzinie a=1

Uwzględniłem.


To jest tylko argument za tym, że dla ujemnych podstaw nie funkcjonują takie same prawa pierwiastkowania jak dla dodatnich.
Najczęściej spotykana jest taka definicja:

Jeżeli a<0 i b=\frac{k}{l}, gdzie l>0 i (k,l)=1 (ten warunek jest istotny), to dla parzystych l wyrażenie a^b nie ma sensu, a dla nieparzystych l mamy
a^b=\begin{cases}
|a|^b & \text{gdy } k \text{ parzyste}\\-|a|^b & \text{gdy }k \text{ nieparzyste}{\end{cases}

W oby przypadkach równanie a^b=1 może nieć rozwiązanie tylko wtedy gdy a=\pm 1 lub b=0
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanko - zadanie 7  beatka-k16  2
 równanko - zadanie 4  K4rol  5
 równanko  at_new  1
 równanko - zadanie 8  rejpmi  5
 Rownanko - zadanie 2  dorotka88  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl