szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2018, o 00:47 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: BB
Witam

Mam takie pytanie, nie wiem do końca jak sformułować problem, co za tym idzie jak go szukać w google'u, a nawet w którym dziale to umieścić.
Gdybym zapisał przykładowy ciąg:
1+2-3-4+5+6-7-8+...+? to czy istnieje jakiś w miarę przystępny sposób na zapisanie n-tego elementu?
Gdyby to było:
1-2+3-4+...(-1)^{n+1}n to fragment (-1)^{n+1} rozwiązuje problem, gdy zmiana następuje co 3 element to nie wiem jak to ugryźć.

W sumie z ciekawości można też zadać pytanie co w wypadku zmiany znaku np. co 4 element albo n element?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2018, o 09:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1486
Lokalizacja: hrubielowo
Zawsze można rozważać ciąg dany poprzez układ warunków

a_n= \begin{cases} n \ \ \ \ \text{dla} \ \ n=4k-3 \ \text{lub} \ n=4k-2   \\ -n \ \ \text{dla} \ \ n=4k-1 \ \text{lub} \ n=4k  \end{cases}

gdzie \k\in\NN (bez zera). Wtedy kładąc k=1 mamy a_1=1, a_2=2 oraz a_3=-3, a_4=-4 za jednym zamachem. Taki zapis nie jest konieczny można to zapisać za pomocą kongruencji \bmod 4 i sprawdzać odpowiednio reszty z dzielenia i do nich dopasowywać znak. Można też a_n zapisać wzorem jawnym co chyba najbardziej Cię interesuje. Więc rozpatrzmy ciąg

\left\{ \omega_n\right\}_{n=1} =\left\{ 0,0,1,1,0,0,1,1...\right\}

i na jego podstawie można budować ciąg jako a_n=(-1)^{\omega_n}n. Poznanie jawne ciągu \omega_n można zrobić na wiele sposobów. Matematyczne robi się to (można to zrobić) poprzez zapisanie rekurencji \omega_n=\omega_{n+4} z warunkami początkowy \omega_1=0 \wedge \omega_2=0 \wedge \omega_3=1 \wedge \omega_4=1. Rekurencje rozwiązujemy na przykład transformatą \mathcal{Z} dostając jawnie

\omega_n= \frac{\cos\left(  \frac{ \pi n}{2} \right) -\sin\left(  \frac{ \pi n}{2} \right)+1}{2}

Ostatecznie podstawiamy zapisując że a_n=(-1)^{ \frac{1}{2} \cdot \left(\cos\left(  \frac{ \pi n}{2} \right) -\sin\left(  \frac{ \pi n}{2} \right)+1 \right)  }n. Podałem ten sposób jako pierwszy bo odpowiada on też na Twoje kolejne pytanie z uogólnieniem tego na dowolną kombinację zmieniających się cyklicznie znaków (tu mamy utożsamianie \left( +,+,-,-\right)\sim\left( 0,0,1,1\right)). Sposób tworzenia takich ciągów jest taki sam.

Jeśli mamy jednak jakiś szczególny przypadek (najczęściej prosty) to transformata \mathcal{Z} może być niepotrzebną komplikacją. Czasem na takie cykliczne ciągi można patrzeć jak na obrotu na okręgu jednostkowym wyrażając to języcznikiem funkcji zespolonej (np. e^{i \pi n}) i tam doszukujemy się interesującego cyklu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2018, o 09:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6555
Dorzucę możliwość wykorzystania:
okresowości funkcji trygonometrycznych, np :
\sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \frac{1}{ \sqrt{2} }\sin \left(  \frac{- \pi }{4}+ \frac{n \pi }{2} \right)+ \frac{3}{2}  }n= 1+2-3-4+5+6-7-8+9+...

cechy (podłogi) i sufitu, np:
\sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \left[  \frac{n-1}{2} \right]   }n= 1+2-3-4+5+6-7-8+9+...

\sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \left[  \frac{n-1}{3} \right]   }n= 1+2+3-4-5-6+7+8+9-...

\sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \left[  \frac{n-1}{4} \right]   }n= 1+2+3+4-5-6-7-8+9+...

....

\sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \left[  \frac{n-1}{p} \right]   }n= ...


\sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \lceil  \frac{2n+3}{4} \rceil  }n= 1+2-3-4+5+6-7-8+9+...

\sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \lceil  \frac{2n+5}{6} \rceil   }n= 1+2+3-4-5-6+7+8+9-...

\sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \lceil  \frac{2n+7}{8} \rceil   }n= 1+2+3+4-5-6-7-8+9+...

....

\sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \left[  \frac{2n-1+2p}{2p} \right]   }n= ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2018, o 15:00 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: BB
Dziękuje za wyjaśnienie, wygląda interesująco :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Liczba zmian znaku w ciągu współczynników  tofik89  0
 Znaleźć kresy zbioru A, jego element największy lub wykazać  kapokapo  1
 Trzeci wyraz szeregu potęgowego.  Fengson  4
 zmiana przedziału sumowania  majeczka1808  1
 Iloczyn Cauchy'ego - element netur. i odw.  bemekw  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl