szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2018, o 20:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Gdynia
Witam serdecznie, jestem świeżo po wrzuceniu w otchłań zwaną algebrą liniową, więc bardzo możliwe że to z czym mam problem jest dosyć oczywiste, ale jakoś nie mogę tego przetrawić.

"Sprawdzić czy dany zbiór z działaniem tworzy grupę abelową: A=\{1,2,4\} z mnożeniem modulo 7"

Ze stworzeniem tabelki, sprawdzeniem czy grupa jest zamknięta, działanie przemienne, znalezieniem elementu neutralnego i odwrotności nie mam problemu, ale nie potrafię w żaden sposób sprawdzić łączności.
Co należy zrobić w momencie x*_{7}(y*_{7}z) = (x*_{7}y)*_{7}z? Wydaje mi się, że podstawianie każdej możliwej kombinacji tych 3 liczb ze zbioru mija się z celem, byłoby to strasznie czasochłonne, próbując zrobić to bez podstawianie doszedłem do [x*[y*z]_{7} ]_{7} = [[x*y]_{7} *z]_{7}, co faktycznie jest prawdziwe jak się podstawi np. (x, y, z) = (1, 2 ,4), ale samo L=P jest raczej słabo widoczne i wątpię żeby wystarczyło np. na kolokwium
//dla jasności tutaj * to zwykłe mnożenie, wyżej mnożenie modulo 7, a [x]_{7} to wynik z x modulo 7
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2018, o 22:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3391
Lokalizacja: blisko
Jest to podgrupa grupy z mnożeniem modulo:

Z^*=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}


Za dużo tam powypisywałeś zupełnie niepotrzebnie na taką bzdurkę..., niepotrzebnie się aż tak wczuwasz podejdź do tego z dystansem...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2018, o 14:52 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Gdynia
arek1357 napisał(a):
Jest to podgrupa grupy z mnożeniem modulo:

Z^*=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}


Za dużo tam powypisywałeś zupełnie niepotrzebnie na taką bzdurkę..., niepotrzebnie się aż tak wczuwasz podejdź do tego z dystansem...

A własnie jak można udowodnić łączność takiej grupy? Wiem, że normalnie się używa faktu, że takie grupy są łączne aby udowodnić łączność ich podgrup, ale mamy sami w tym wypadku przeprowadzić ten dowód. Na późniejszym wykładzie był pokazany na dodawanie modulo n(który swoją drogą średnio rozumiem, bo jest w nim ...=[[a+b]_{n}+c]_{n} = [a + b + c]_{n}, wiem że to dosyć logiczne, bo koniec końców wyjdzie na to samo, ale modulo było opuszczone bez wyjaśnienia, dowód na łączność mnożenia modulo n też mamy wykonać sami).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2018, o 16:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3391
Lokalizacja: blisko
łączność podgrupy wynika z łączności grupy nadrzędnej...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2018, o 17:14 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
arek1357 napisał(a):
łączność podgrupy wynika z łączności grupy nadrzędnej...

Ale łączność grupy nadrzędnej niekoniecznie jest dana.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 00:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3391
Lokalizacja: blisko
Oj dana dana, czemu nie dana?

Co masz do tej grupy jeśli nie ma łączności to nie grupa a jednak to grupa...


\ZZ^*_{7} - toż to grupa...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 00:53 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
arek1357 napisał(a):
\ZZ^*_{7} - toż to grupa...

Dowiedź to zatem z definicji grupy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 08:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3391
Lokalizacja: blisko
A poco mi to, inni już to zrobili np Pan Birula lub inni i moja Pani w szkole też zrobiła...

wybacz ale nie robie takich rzeczy od tego ma podręczniki...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 08:28 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7920
Lokalizacja: Wrocław
Monkae napisał(a):
arek1357 napisał(a):
który swoją drogą średnio rozumiem, bo jest w nim ...=[[a+b]_{n}+c]_{n} = [a + b + c]_{n}
Oznaczmy x \equiv_n y jeśli n \mid y - x. Z definicji [z]_n to jedyna liczba całkowita 0 \le z' < n, taka że z' \equiv_n z. Ponadto relacja \equiv_n ma następujące własności:

(i) (\forall x \in \ZZ) \, x \equiv_n x (zwrotność)

(ii) (\forall x, y \in \ZZ) (x \equiv_n y \Leftrightarrow y \equiv_n x) (symetria)

(iii) (\forall x, y, z \in \ZZ) (x \equiv_n y \wedge y \equiv_n z \Rightarrow x \equiv_n z) (przechodniość)

(iv) (\forall x, y, z \in \ZZ) (x \equiv_n y \Rightarrow x+z \equiv_n y+z)

(v) (\forall x, y, z \in \ZZ) (x \equiv_n y \Rightarrow x \cdot z \equiv_n y \cdot z)

Trzy pierwsze własności mówią, że \equiv_n jest relacją równoważności na \ZZ, a pozostałe dwie, że jest ona relacją kongruencji względem struktury pierścienia na \ZZ. Powinniście te własności albo mieć pokazane na wykładzie, albo zrobić sami (wszystkie są łatwe).


Ustalmy dowolne a, b, c \in \ZZ. Mamy [a+b]_n \equiv_n a+b, zatem z (iv) [a+b]_n + c \equiv_n a+b+c. Ponadto [a+b+c]_n \equiv_n a+b+c, więc z symetrii a+b+c \equiv_n [a+b+c]_n i z przechodniości [a+b]_n + c \equiv_n [a+b+c]_n. Ale wiemy, że 0 \le [a+b+c]_n < n, zatem z definicji [[a+b]_n + c]_n = [a+b+c]_n.

Równość [a+[b+c]_n]_n = [a+b+c]_n pokazuje się analogicznie, dowód dla mnożenia też jest w zasadzie taki sam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 grupa czwórkowa Kleina - zadanie 2  kati8506  1
 Grupa diedralna  karolinaef  6
 Grupa obrotów podgrupą normalną GL?  kjnm  4
 Grupa względem zwykłego mnożenia  Marekgoku  9
 obrót płaszczyzny a grupa  Atomka  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl