szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 12:20 
Użytkownik

Posty: 51
W jaki sposób zsumować:
\sum_{k=0}^{n} {2n+1 \choose k}?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 12:24 
Użytkownik

Posty: 16330
Lokalizacja: Bydgoszcz
A potrafisz policzyć \sum_{k=0}^{2n+1} {2n+1 \choose k}?

Teraz popatrz na nieparzyste wiersze w trójkącie Pascala i zauważ symetrię
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 12:54 
Użytkownik

Posty: 51
Wiem, że \sum_{k=0}^{2n+1} {2n+1 \choose k} = 1+2n+1+...+1. Widzę, że jest to symetryczne, także dlatego, że 2n+1 w dwumianie wskazuje na nieparzysty rząd trójkąta Pascala w którym wyrazy są symetryczne.
Mam też podany rozwiązany przykład \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}  1^{n-k}  \cdot  1^{k} = (1+1)^{k}  =  2^{n}, ale nie bardzo potrafię z niego wyciągnąć pomoc czy wskazówkę do rozwiązania mojego problemu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 13:43 
Użytkownik

Posty: 16330
Lokalizacja: Bydgoszcz
A co dostaniesz, jak w tym wzorku: \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 1^{n-k} \cdot 1^{k} = (1+1)^{k} = 2^{n} zamienisz n na 2n+1?

Wiesz co przedstawia ten wzór?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 17:07 
Użytkownik

Posty: 51
No właśnie nie bardzo...
\sum_{k=0}^{n} {2n+1 \choose k} jest o tyle konfundujące, że w jednym miejscu jest n, a w innym 2n+1.

Podejrzewam, że \sum_{k=0}^{2n+1} {2n+1 \choose k} = 2^{2n+1}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 18:21 
Użytkownik

Posty: 16330
Lokalizacja: Bydgoszcz
No właśnie tak. Jak zmieniać, to wszędzie.

-- 11 paź 2018, o 18:23 --

A może sobie weźmiesz np n=3 i napisz to wyrażenie nie używając znaku sumy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 20:01 
Użytkownik

Posty: 51
Ok, za drugim razem zrozumiałem — n=3 nie tylko w znaku sumy, ale i w dwumianie, zatem mamy:
\sum_{k=0}^{3} {7 \choose k}=  {7 \choose 0} +  {7 \choose 1} +  {7 \choose 2} +  {7 \choose 3} = 1+7+21+35=64= 2^{6}=4^{3}
Zatem \sum_{k=0}^{n} {2n+1 \choose k} = 4^{n}

Teraz widzę też, że w trójkącie Pascala 7. rząd - kolejne miejsca od 0 do 3 to kolejno 1, 7, 21, 35. Suma tych wyrazów pomnożona razy 2 (symetria!) daje 64 \cdot 2=128, co jest dwa do potęgi 7 (jak 7 rząd!), czyli nasze n.

Podsumowując ten mój potok myśli :) Chyba cały czas próbowałem rozważać n w znaku sumy i n w dwumianie w oderwaniu od siebie. Wygląda na to, że chyba zrozumiałem swój błąd i na czym to polega :idea:.
Dzięki za doprowadzenie mnie do tego momentu :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 16330
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zapamiętaj naukę: oznaczanie dwóch obiektów tym samym symbolem zwykle prowadzi do katastrofy. Dlatego oba n muszą oznaczać to samo.

Powodzenia
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Symbol Newtona - przykład  3gpp  1
 Ilość wymiernych składników w rozwinięciu dwumianu  help_me;)  0
 Udowodnij wzór (symbol Newtona).  cyryl5  3
 Symbol Newtona rozwiąż równania.  bcm  1
 Kombinatoryka, symbol Newtona- 4 zadania  niczeQ  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl