szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 16:51 
Użytkownik

Posty: 120
Lokalizacja: Krakow
1) Proszę sprawdzić czy poprawnie zbadałem zbieżność ciągów:

a_{1} = a > 0, a_{n+1} = \ln \left( 1 + a_{n} \right)

Czy ciąg jest małejący?

Z: a_{n+1} < a _{n} \Rightarrow \ln \left( 1 + a _{n+1} \right) < \ln \left( 1 + a _{n} \right) \Rightarrow \ln \left( \frac{1 + a_{n+1} }{1 + a_{n} } \right) < 0 - jest prawidłowo, bo 1 + a_{n+1} < 1 + a_{n}.

Czy ciąg jest ograniczony?

Z: a_{n} > 0
T: a_{n+1} > 0

a_{n+1} = \ln \left( 1 + a_{n} \right) > 0, bo a_{n} > 0 \Rightarrow 1 + a_{n+1} > 1

Granica:

\lim_{n \to \infty } a_{n} = g \Rightarrow \lim_{n \to \infty } a_{n+1} = g

\ln \left( 1 + g \right) = g \Leftrightarrow e^{g} = 1 + g \Rightarrow g = 0

2) a_{n} = \frac{ 2^{n} }{n!}

Czy ciąg jest słabo małejący?

Z: a_{n+1} \le a_{n}

a_{n+1} - a_{n} \le 0 \Rightarrow \frac{ 2^{n+1} }{ \left( n+1 \right) !} - \frac{ 2^{n} }{n!} \le 0 \Rightarrow \frac{2 \cdot 2^{n} - 2^{n} \left( n + 1 \right) }{n! \left( n+1 \right) } = \frac{ 2^{n} \left( 1 - n \right) }{n! \left( n +1 \right) } \le 0 - prawidłowo.

Czy ciąg jest ograniczony?

Z: a_{n}> 0
T: a_{n + 1} > 0

\frac{ 2^{n+1} }{ \left( n+1 \right) !} > 0 \Rightarrow \frac{ 2^{n} }{n!} \cdot \frac{2}{n + 1} > 0 - tak, bo \frac{ 2^{n} }{n!} = a_{n} > 0

Tylko tu nie wiem jak obliczyć granicę g.

Z góry dziękuję!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 17:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1486
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
Czy ciąg jest małejący?
Z: a_{n+1} < a _{n}  \Rightarrow  ln(1 + a _{n+1}) < ln(1 + a _{n} )  \Rightarrow ln( \frac{1 +  a_{n+1} }{1 +  a_{n} } ) < 0 - jest prawidłowo, bo 1 +  a_{n+1} < 1 +  a_{n}.
Coś blefujesz. Ogólnie dla x>0 mamy \ln(1+x) \le x co widać ze jak policzysz styczną do logarytmu. Albo rozwiń z Taylora e^x do drugiego wyrazu i oszacuj a następnie zlogarytmuj. Nierówność ta daje możliwość zapisania że \ln(1+a_n) \le a_n a to zważywszy na definicję tego ciągu to a_{n+1} \ge a_n co oznacza że ciąg maleje. Wypada pokazać tu że ciąg a_n jest dodatni by legalnie korzystać z tej nierówności (to już niebawem).
Cytuj:
Czy ciąg jest ograniczony?
Z: a_{n} > 0
T: a_{n+1} > 0
a_{n+1} = ln(1 + a_{n}) > 0, bo a_{n} > 0  \Rightarrow 1 + a_{n+1} > 1
No domyślam się że to miała być indukcja która pokazuje że ciąg jest ograniczony z dołu ale warto o tym napisać, przynajmniej że masz zamiar przeprowadzać dowód indukcyjny. Już nie proszę o powołanie się na tw o indukcji. Zabrakło też sprawdzenia że dla n=1 wszystko jest ok. Samo wnioskowanie też jest podejrzane (choć prawie nic nie napisałeś więc nie wiem).

spr n=1 jest ok. Teraz zauważmy że a_{n+1}>0 przy założeniu indukcyjnym a_n>0. Mamy więc równoważnie \ln(1+a_n)>0 i równoważnie 1+a_n>1 czyli a_n>0. Co na mocy tw indukcji kończy dowód ograniczoności z dołu przez 0.
Cytuj:
Granica:

\lim_{n \to  \infty } a_{n} = g  \Rightarrow \lim_{n \to  \infty } a_{n+1} = g
ln(1 + g) = g  \Leftrightarrow  e^{g} = 1 + g  \Rightarrow g = 0
Trochę mało tekstu ale jest ok. Takie metody są dozwolone ponieważ wiemy że ta granica istnieje wszak pokazaliśmy monotoniczność i ograniczoność co warto napisać.

Co do podpunktu 2) to monotoniczność wygląda ok, ograniczoność znowu brakuje sprawdzenia bazy choć dowód indukcyjny to lekka przesada w tym miejscu. Fakt że a_n>0 widać dość wyraźnie. A granice możesz policzyć na przykład z trzech ciągów zauważając że

0 \le a_n \le  \frac{1}{n}

dla odpowiednio dużych n (formalizuj indukcją).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 17:48 
Użytkownik

Posty: 120
Lokalizacja: Krakow
Janusz Tracz, Dziękuję. Uczę się to robić ale mam za mało dokładnych przykładów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2018, o 19:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1486
Lokalizacja: hrubielowo
Aha jeszcze tak mi przyszło do głowy. Powiedzmy że liczymy granicą \lim_{n \to  \infty } \frac{2^n}{n!} można to zrobić tak jak mówiłem ale można zauważyć że \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{2^n}{n!} =e^2 więc \lim_{n \to  \infty } \frac{2^n}{n!}=0 bo inaczej warunek konieczny nie był by spełniony (a jest spełniony jak widać).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie zbieżności funkcji. Czy \sqrt[n]{n!} zbiega do 1?  kej.ef  12
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl