szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2018, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 582
Rozwiąż w ciele \ZZ _{17} następujące równanie.

x ^{2}+3x+1=0

Jak sobie z tym poradzić?
Bo jedyne co mi przychodzi do głowy to sprawdzenie wszystkich przypadków.
Rozwiązując podobne zadanie na wykładzie prowadzący dopełniał do wzoru skróconego mnożenia ale ten przykład wydaje się być oporny na takie sztuczki(przynajmniej mi to nie wychodzi)...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2018, o 19:05 
Użytkownik

Posty: 12914
x^2+3x+1=0\\ x^2+3x+2=1\\(x+1)(x+2)=1
Czyli zastanawiamy się, czy w \ZZ_{17} są dwa kolejne elementy będące wzajemnie odwrotnymi, bo oczywiście x+1=16, \ x+2=0 odpada, gdyż 0 nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia modulo 17.
Zauważmy jednak, że jeśli a(a+1)\equiv 1\pmod{17}, to
4a^2+4a+1\equiv 5\pmod{17}, czyli (2a+1)^2\equiv 5\pmod{17}, lecz 5 jest nieresztą kwadratową modulo 17, co natychmiast wynika z prawa wzajemności reszt kwadratowych i analizy reszt kwadratowych modulo 5 (niby też pała, ale iks razy szybsza, niż 17).
Zatem rozwiązania nie istnieją.

-- 13 paź 2018, o 19:18 --

Natomiast ogólnej metody rozwiązywania takich zadań niestety nie znam. :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2018, o 19:59 
Użytkownik

Posty: 582
Ou czyli zadanie okazało się trudniejsze niż sądziłem.
Dziękuje bardzo za ciekawy sposób :D

Właśnie podejrzewałem, że nie ma na te równania ogólnej metody...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2018, o 09:50 
Użytkownik

Posty: 1601
Lokalizacja: Sosnowiec
Premislav napisał(a):
Natomiast ogólnej metody rozwiązywania takich zadań niestety nie znam. :(

A jakby policzyć deltę i sprawdzić, czy jest kwadratem pewnego elementu w \ZZ_{17} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2018, o 21:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3383
Lokalizacja: blisko
żeby sprawdzić czy to reszta kwadratowa a co za tym idzie policzyć deltę (spierwiastkować)

wystarczy policzyć Symbol Legendre'a, który w tym przypadku wychodzi -1 a więc brak pierwiastka...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równania w Ciałach i pierścieniach(Zn) f-cje rekurencyjn  Anonymous  0
 Pokazać ,że w ciele równanie ax+b=0 ma jednoznaczne rozw  wahadło  1
 tabliczka dodawania i mnożenia w ciele Z3  josef871  6
 zerowy element w ciele  azedor  8
 wyznaczyc element odwrotny w ciele Z  kamilsos12  6
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl