szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2018, o 18:58 
Użytkownik

Posty: 54
Lokalizacja: Wrocław
Czy mógłby mi ktoś krok po kroku objaśnić w jaki sposób mam wykazać, że te funkcje są ograniczone?

1)\ f(x)=\sin ^{2}x+3\cos x, x \in \RR \\
 2)\ f(x)= \frac{x}{x ^{2}+1 }, x \in \RR
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2018, o 19:24 
Użytkownik

Posty: 3873
Co to jest funkcja ograniczona?

Przykładowe rozwiązanie zadania 2.

Gdy zmienna x "przebiega" zbiór liczb rzeczywistych to wartości funkcji utworzą zbiór W.

Mamy znaleźć ten zbiór.

Zbiór ten ma taką własność, że dla każdego y\in W i tylko takiego, istnieje rozwiązanie równania:

y = \frac{x}{x^2+1} z nieznaną x \in \RR, czyli równania:

yx^2 -x + y = 0.

Zatem liczby zbioru W i tylko tego zbioru, spełniają warunek:

\Delta \geq 0,

czyli

1 - 4y^2 \geq 0

-\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{1}{2}.

-\frac{1}{2}\leq f(x) \leq \frac{1}{2}

Gdy równanie nie jest kwadratowe y =0, to liczba 0 spełnia również wspomniany wyżej warunek.

-- 14 paź 2018, o 20:39 --

Zadanie 1

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, zamieniając sin^2(x) na 1-\cos^2(x)

y = -cos^2(x) +3\cos(x) +1.



Podobnie jak zadanie 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2018, o 19:43 
Użytkownik

Posty: 15670
Lokalizacja: Bydgoszcz
camillus25, żebyś nie odniósł błędnego wrażenia, że dla pokazania ograniczoności trzeba wyznaczyć zbiór wartości funkcji rozwiązanie inne, ale za to działąjące dużo lepiej niż powyższe:

Dla |x|\leq 1 mamy |x|\leq 1\leq x^2+1, więc \frac{|x|}{x^2+1}\leq 1

Zaś dla |x|>1 mamy |x|<x^2<x^2+1, więc też \frac{|x|}{x^2+1}\leq 1.

Dla wszystkich x mamy zatem |f(x)|\leq 1, czyli -1\leq f(x)\leq 1, co dowodzi ograniczoności.

Podobnie poradzisz sobie z pierwszym przykładem
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2018, o 20:49 
Użytkownik

Posty: 3873
Ograniczoność powyższa niedokładna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2018, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 15670
Lokalizacja: Bydgoszcz
janusz47 napisał(a):
Ograniczoność powyższa niedokładna.


A ktoś Ci kazał najdokładniejszą?
Dokładniejsza w trywialny sposób wynika z nierówności AG:

|x|=\sqrt{x^2\cdot 1}\leq \frac{x^2+1}{2}

Jak widzisz i prościej i bardziej elegancko, i optymalnie i bez szukania zbioru wartości.

Ciekawe jak byś swoją metodą zrobił to zadanie gdyby w mianowniku było x^{2018} :roll:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2018, o 20:57 
Użytkownik

Posty: 3873
Ale akurat nie jest.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2018, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 15670
Lokalizacja: Bydgoszcz
Można jeszcze sprytniej:
Niech x=\tg t
Wtedy
\frac{x}{x^2+1}=\frac{\sin t\cos t}{\sin^2t+\cos^2t}=\frac{\sin 2t}{2} itd...

-- 14 paź 2018, o 21:11 --

janusz47 napisał(a):
Ale akurat nie jest.


Dobra, wygrałeś. Chyle czola ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 13:56 
Użytkownik

Posty: 54
Lokalizacja: Wrocław
Czyli wystarczy tylko, że znajdę zbiór wartości i na podstawie tego będę wiedział jakie są granice funkcji?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 14:09 
Administrator

Posty: 23386
Lokalizacja: Wrocław
To jest wersja maksimum. Do uzasadnienia ograniczoności nie musisz jednak wyznaczać zbioru wartości funkcji.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 15:05 
Użytkownik

Posty: 15670
Lokalizacja: Bydgoszcz
Dodam tylko że na ogół łatwiej znaleźć ograniczenie niż zbiór wartości funkcji
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ograniczenie funkcji - zadanie 3  cheerful2  6
 Ograniczenie funkcji  julia13  1
 Ograniczenie funkcji - zadanie 2  forget24  1
 Ograniczenie funkcji - zadanie 4  Karol458  3
 ograniczenie funkcji - zadanie 5  adam03  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl